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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25758 597e8c70d05b90000c805774 高中 解答题 高中习题 求证：当 $x\in [0,2]$ 时，不等式 $\dfrac{{\rm e}^x}{x^2-x+1}>x$ 恒成立． 2022-04-17 20:51:48
25757 598702c45ed01a000ba75b88 高中 解答题 高中习题 求证：当 $x\in [0,2]$ 时，不等式 $\dfrac{{\rm e}^x}{x^2-x+1}>x$ 恒成立． 2022-04-17 20:50:48
25756 597e8cb2d05b90000c805779 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上两点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且相交于点 $P$，求 $P$ 点的轨迹． 2022-04-17 20:50:48
25755 597e9272d05b90000c8057a3 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上两点 $A,B$ 处的切线互相垂直，且相交于点 $P$，求 $P$ 点的轨迹． 2022-04-17 20:50:48
25754 597e8d38d05b90000c805786 高中 解答题 高中习题 求证：$\sin\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdots\sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}$． 2022-04-17 20:50:48
25753 592f76a78020230008f59a5a 初中 解答题 其他 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=mx^2-2m^2x+2$ 交 $y$ 轴于 $A$ 点，交直线 $x=4$ 于 $B$ 点．记抛物线在 $A,B$ 之间的部分为图象 $G$（包含 $A,B$ 两点），若对于图象 $G$ 上任意一点 $P(x_P,y_P)$，始终满足 $y_P\leqslant 2$，求 $m$ 的取值范围． 2022-04-17 20:49:48
25752 598bd78681aa6e00080d3ea5 高中 解答题 自招竞赛 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，点（$a_n,S_n$）在 $y=\dfrac 1 6-\dfrac 1 3x$ 的图象上（$n\in \mathbb N^*$）． 2022-04-17 20:49:48
25751 598bd78681aa6e00080d3ea6 高中 解答题 自招竞赛 已知点 $F$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{1+a^2}+y^2=1(a>0)$ 的右焦点，点 $M(m,0)$、$N(0,n)$ 分别是 $x$ 轴、$y$ 轴上的动点，且满足 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NF}=0$．若点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{PO}$． 2022-04-17 20:49:48
25750 597e8d58d05b90000c805789 高中 解答题 高中习题 求证：${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>3$． 2022-04-17 20:48:48
25749 597e9214d05b90000addb2f6 高中 解答题 高中习题 已知 ${F_1} , {F_2}$ 是椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ 的焦点．设 $l$ 是该椭圆的一条切线，${H_1} , {H_2}$ 分别是 ${F_1} , {F_2}$ 在 $l$ 上的垂足，证明：${F_1}{H_1} \cdot {F_2}{H_2} = {b^2}$． 2022-04-17 20:48:48
25748 597e98b0d05b900009165189 高中 解答题 高考真题 已知动直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 交于 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 两个不同点，且 $\triangle OPQ$ 的面积 $S_{\triangle OPQ}=\dfrac{\sqrt 6}{2}$，其中 $O$ 为坐标原点． 2022-04-17 20:47:48
25747 598bfabade229f0008daf5c9 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$ 是实数，两条抛物线 $y=x^2+x+a$ 与 $x=4y^2+3y+a$ 有四个交点． 2022-04-17 20:47:48
25746 598bfabade229f0008daf5ca 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=\dfrac x{x+1}$，令 $a_1 = \dfrac 1 2, a_2 = \dfrac 3 4, a_{n+2} = f(a_n)+f(a_{n+1}),n=1,2,\cdots$．
求证：对任何正整数 $n$，有 $f(3\cdot 2^{n-1}) \leqslant a_{2n} \leqslant f(3\cdot 2^{2n-2})$．		 2022-04-17 20:46:48
25745 598bfb44de229f000b9a0ebd 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_k>0,k=1,2,\cdots,2008$．证明：当且仅当 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2008}{a_k}>1$ 时，存在数列 $\{x_n\}$ 满足以下条件：
（i）$0=x_0<x_n<x_{n+1},n=1,2,3,\cdots$；
（ii）$\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}$ 存在；
（iii）$\displaystyle x_n-x_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{2008}{a_kx_{n+k}}-\sum\limits_{k=0}^{2007}{a_{k+1}x_{n+k}},n=1,2,3,\cdots$．		 2022-04-17 20:45:48
25744 5982960b400acd0007dcc48d 高中 解答题 自招竞赛 求函数 $y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt x$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 20:45:48
25743 5982cdf065a6ba00070eee3e 高中 解答题 自招竞赛 已知 $P$ 是圆 $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ 上一动点，向量 $\overrightarrow{OP}$ 依逆时钟方向旋转 $90^{\circ}$ 得到向量 $\overrightarrow{OS}$，又点 $P$ 关于 $A(3,0)$ 的对称点为 $T$，求 $\left|\overrightarrow{TS}\right|$ 的取值范围． 2022-04-17 20:44:48
25742 5982cdf065a6ba00070eee40 高中 解答题 自招竞赛 从直线 $l:\dfrac{x}{12}+\dfrac y8=1$ 上任意一点 $P$ 向椭圆 $C:\dfrac{x^2}{24}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 引切线 $PA,PB$，切点分别为 $A,B$，试求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹． 2022-04-17 20:44:48
25741 598c0c8ade229f0008daf605 高中 解答题 自招竞赛 （14分）已知 $f(\sin x) = \dfrac {\sin 3x}{\sin^2 x}$． 2022-04-17 20:43:48
25740 598c0c8ade229f0008daf607 高中 解答题 自招竞赛 （14分）已知函数 $f(x) = \ln x + \dfrac a x(a \in \mathbb R)$． 2022-04-17 20:43:48
25739 598c0c8ade229f0008daf60a 高中 解答题 自招竞赛 （15分）如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是底边 $BC$ 上一点，$P$ 是 $AD$ 上一点，且 $\triangle CPD$、$\triangle BPD$ 的外接圆分别交 $AC$、$AB$ 于点 $E$、$F$，$I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心．求证：当 $PD^2 = PE \cdot PF$ 时，$B$、$I$、$P$、$C$ 四点共圆． 2022-04-17 20:42:48
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