2016年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）

{\bf{方法一}}\quad 不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则\[\sqrt[n]{b+c}\geqslant \sqrt[n]{c+a}\geqslant \sqrt[n]{a+b},\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}\leqslant \dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}\leqslant \dfrac c {\sqrt[n]{a+b}}.\]由切比雪夫不等式，得\[\begin{split}a+b+c&=\sqrt[n]{b+c}\cdot \dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\sqrt[n]{c+a}\cdot \dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}+\sqrt[n]{a+b}\cdot \dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\\&\leqslant \dfrac 1 3\left(\sqrt[n]{b+c}+\sqrt[n]{c+a}+\sqrt[n]{a+b}\right)\left(\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}+ \dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\right).\end{split}\]又由幂平均不等式，得\[\dfrac{\left(\sqrt[n]{b+c}+\sqrt[n]{c+a}+\sqrt[n]{a+b}\right)}{3}\leqslant \sqrt[n]{\dfrac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}3}=\sqrt[n]{\dfrac 2 3(a+b+c)}.\]所以\[a+b+c\leqslant \sqrt[n]{\dfrac 2 3(a+b+c)}\cdot \left(\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}+ \dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\right).\]于是，\[\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}+ \dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\geqslant \dfrac{a+b+c}{\sqrt[n]{\dfrac 2 3(a+b+c)}}= \sqrt[n]{\dfrac 3 2(a+b+c)^{n-1}}.\]由已知及均值不等式，得\[a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3.\]故\[\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}+ \dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\geqslant \dfrac 3{\sqrt[n]{2}}.\]{\bf{方法二}}\quad 令 $A=a+b+c$，则\[0<\dfrac a A<1,0<\dfrac 6 A<1,0<\dfrac c A<1,\]由幂级数展开式，得\[\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}=\dfrac a{\sqrt[n]{A-a}}=\dfrac a{\sqrt[n]{A}}\cdot \dfrac 1{\sqrt[n]{1-\dfrac a A}}=\dfrac a{\sqrt[n]{A}}\left[1+\alpha_1\cdot\dfrac a A+\alpha_2\left(\dfrac a A\right)^2+\cdots\right],\]其中，\[a_k=\dfrac{\dfrac 1 n\left(\dfrac 1 n+1\right)\left(\dfrac 1 n+2\right)\cdots\left(\dfrac 1 n+k-1\right)}{k!},k=1,2,\cdots.\]同理，\[\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}=\dfrac b{\sqrt[n]{A-b}}=\dfrac b{\sqrt[n]{A}}\left[1+\alpha_1\cdot\dfrac b A+\alpha_2\left(\dfrac b A\right)^2+\cdots\right],\]\[ \dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}=\dfrac c{\sqrt[n]{A-c}}=\dfrac c{\sqrt[n]{A}}\left[1+\alpha_1\cdot\dfrac c A+\alpha_2\left(\dfrac c A\right)^2+\cdots\right].\]所以\[\begin{split}&\dfrac a{\sqrt[n]{b+c}}+\dfrac b{\sqrt[n]{c+a}}=\dfrac c{\sqrt[n]{a+b}}\\&=\dfrac 1{\sqrt[n]{A}}\left[(a+b+c)+\alpha_1\cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{A}+\alpha_2 \cdot \dfrac{a^3+b^3+c^3}{A^2}+\cdots\right]\\&\geqslant \dfrac 1{\sqrt[n]{A}}\left[(a+b+c)+\alpha_1\cdot \dfrac {3\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2}{A}+\alpha_2 \cdot \dfrac{3\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}{A^2}+\cdots\right]\\&=\dfrac A{\sqrt[n]{A}}\left(1+\alpha_1 \cdot \dfrac 1 3+\alpha_2\cdot \dfrac 1 {3^2}+\cdots \right)\\&=\sqrt[n]{A^{n-1}}\cdot\dfrac 1{\sqrt[n]{1-\dfrac 1 3}}=\sqrt[n]{\dfrac 3 2(a+b+c)^{n-1}}\\&\geqslant \sqrt[n]{\dfrac 3 2\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^{n-1}}=\dfrac 3 {\sqrt[n]{2}}.\end{split}\]

无