等腰梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$AB = CD$，$ABCD$ 的内切圆与腰 $CD$ 切于点 $M$，$AM,BM$ 分别与内切圆交于点 $P,T$，求 $\dfrac{{AM}}{{AP}} + \dfrac{{BM}}{{BT}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
设 $BC$ 与内切圆切于点 $N$，如图．
由切割线定理$$BT\cdot BM=BN^2,$$又$$\begin{split}BM^2&=BC^2+MC^2-2BC\cdot CM\cdot \cos C\\
&=4BN^2+BN^2-2\cdot 2BN\cdot BN\cdot \cos C\\
&=BN^2\cdot \left(5-4\cos C\right),\end{split}$$两式相比即得$$\dfrac{BM}{BT}=5-4\cos C.$$类似的，$$\dfrac{AM}{AP}=5-4\cos D,$$于是所求值为 $10$．
由切割线定理$$BT\cdot BM=BN^2,$$又$$\begin{split}BM^2&=BC^2+MC^2-2BC\cdot CM\cdot \cos C\\&=4BN^2+BN^2-2\cdot 2BN\cdot BN\cdot \cos C\\
&=BN^2\cdot \left(5-4\cos C\right),\end{split}$$两式相比即得$$\dfrac{BM}{BT}=5-4\cos C.$$类似的，$$\dfrac{AM}{AP}=5-4\cos D,$$于是所求值为 $10$．
答案
解析
备注
