是否存在正整数 $m$ 和 $n$，使得 ${\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)^m} = {\left( {3 + 5\sqrt 2 } \right)^n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
不存在
【解析】
设 ${\left( {a + b\sqrt 2 } \right)^n} = p + q\sqrt 2 $，其中 $a,b,p,q\in\mathbb Z$，则$${\left( {a - b\sqrt 2 } \right)^n} = p - q\sqrt 2 .$$因此若存在正整数 $m$ 和 $n$，使得$${\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)^m} = {\left( {3 + 5\sqrt 2 } \right)^n},$$则$${\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)^m} = {\left( {3 - 5\sqrt 2 } \right)^n},$$此时$${7^m} = {\left( { - 41} \right)^n},$$而 $7$ 与 $-41$ 互质，于是不存在满足题意的正整数 $m , n$．
答案
解析
备注
