• 题型

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  微积分初步

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  函数不等式的证明
• 知识点

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  微积分初步

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  利用导数研究函数的性质

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  利用导数研究函数的最值

略

当 $x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 时，$$f'(x)=-x\sin{x}\leqslant 0,$$从而 $f(x)$ 在 $ \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 在 $ \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上的最大值为 $f(0)=0$，故$$f(x)\leqslant f(0)=0.$$

• 题型

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  不等式

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  恒成立与存在性问题
• 知识点

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  函数

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  函数的图象与性质

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  函数的有界性
• 知识点

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  微积分初步

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  导数问题中的技巧

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  端点分析

$a$ 的最大值为 $\dfrac{2}{\pi} $，$b$ 的最小值为 $1$

令 $g(x)=\dfrac{\sin{x}}{x}, x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right]$，则$$g'(x)=\dfrac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}.$$由 $(1)$ 知，$g'(x)\leqslant 0$，故 $g(x)$ 在 $ \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上单调递减，从而 $g(x)$ 的最小值为$$g \left(\dfrac{\pi}{2} \right)=\dfrac{2}{\pi},$$故 $a \leqslant \dfrac{2}{\pi} $，$a$ 的最大值为 $\dfrac{2}{\pi} $．
$b$ 的最小值为 $1$，下面进行证明：
令 $h(x)=\sin{x}-bx,x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，则$$h'(x)=\cos{x}-b.$$情形一当 $b \geqslant 1$ 时，$h'(x) \leqslant 0$，$h(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2} \right)$ 上单调递减，从而$$h(x) \leqslant h(0) = 0,$$从而当 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right) $ 时，$\dfrac{\sin{x}}{x}<b $．
情形二若 $b<1$，则 $h'(x)=\cos{x}-b=0$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$ 上有唯一解 $x_0$，且 $x\in \left(0,x_0\right) $ 时，$h'(x)>0$，故 $h(x)$ 在 $\left(0,x_0\right)$ 上单调递增，此时$$h(x)>h(0)=0,$$矛盾．
综上可知，$b$ 的最小值为 $1$．