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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25718 597ec589d05b90000addb3f7 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$（$n\in\mathbb N^*$），求 $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}$． 2022-04-17 20:31:48
25717 597ec60ed05b900009165272 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}-1$，求证：$$a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1}<\dfrac 12n+\dfrac 23.$$ 2022-04-17 20:30:48
25716 597071abdbbeff0009d29f7a 高中 解答题 高中习题 是否存在实数 $x$ 使 $\tan x + \sqrt 3 $ 与 $\cot x + \sqrt 3 $ 均为有理数？ 2022-04-17 20:29:48
25715 5970639edbbeff0008bb4f21 高中 解答题 高中习题 已知点 $P(1,2)$，$Q(-1,3)$． 2022-04-17 20:28:48
25714 597065d7dbbeff000aeab823 高中 解答题 高中习题 已知坐标平面 $xOy$ 内第一象限的一点 $P(a,b)$，求过点 $P$ 且横截距与纵截距的绝对值相等的直线方程． 2022-04-17 20:27:48
25713 596447a2e6a2e7000bb7eba2 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{2}=\lambda$ 上的两点，点 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点，线段 $AB$ 的垂直平分线交双曲线于 $C,D$ 两点． 2022-04-17 20:27:48
25712 5970647cdbbeff0008bb4f25 高中 解答题 高中习题 集合 $M=\left \{1,2, \cdots ,99 \right\}$，集合 $A$ 是集合 $M$ 的子集，$A$ 中的元素个数为偶数，且 $A$ 中元素之和为奇数，求符合要求的集合 $A$ 的个数． 2022-04-17 20:26:48
25711 592e3380eab1df00082572b1 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln(ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}(x\geqslant0)$ 的最小值为 $1$，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:26:48
25710 597e9e15d05b90000b5e3124 高中 解答题 高中习题 已知 $M,N$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上的两个定点，椭圆的弦 $AB$ 恒过点 $M$，直线 $AN,BN$ 分别与椭圆 $E$ 交于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，求证：直线 $CD$ 的斜率与直线 $AB$ 的斜率之比为定值． 2022-04-17 20:26:48
25709 597ea5f6d05b90000916520b 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对应的边长分别为 $a,b,c$．已知 $a+b+c=16$，求 $b^2\cos^2\dfrac{C}{2}+c^2\cos^2\dfrac{B}{2}+2bc\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\sin\dfrac{A}{2}$ 的值． 2022-04-17 20:25:48
25708 597e87e2d05b90000addb290 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 中 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $a+b+c=10$，求 $b^2\cos^2\dfrac C2+c^2\cos^2\dfrac B2+2bc\cos\dfrac B2\cos\dfrac C2\sin\dfrac A2$ 的值． 2022-04-17 20:24:48
25707 598aa27340b385000cb72e49 高中 解答题 高中习题 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一个动点．以 $F$ 为焦点、$O$ 为顶点作抛物线 $C$．设 $P$ 是第一象限内 $C$ 上的一点，$Q$ 是 $x$ 轴负半轴上一点，使得 $PQ$ 为 $C$ 的切线，且 $|PQ|=2$，圆 $C_{1},C_{2}$ 均与直线 $OP$ 相切于点 $P$，且均与 $x$ 轴相切．求点 $F$ 的坐标，使圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的面积之和取到最小值． 2022-04-17 20:24:48
25706 598aa29440b385000b833254 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$X,Y$ 是直线 $BC$ 上两点（$X,B,C,Y$ 顺次排列），使得$$BX\cdot AC=CY\cdot AB.$$设 $\triangle ACX,\triangle ABY$ 的外心分别为 $O_1,O_2$，直线 $O_1O_2$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $U,V$．证明：$\triangle AUV$ 是等腰三角形． 2022-04-17 20:23:48
25705 598aa29440b385000b833256 高中 解答题 高中习题 （50分）设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_{n}\}$ 定义为 $a_{1}=2$，$a_{n}=a_{n-1}+\left[\dfrac{pa_{n-1}}{n}\right],n=2,3,\cdots $．这里 $[x]$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立． 2022-04-17 20:22:48
25704 598aa5da40b385000cb72e73 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，$b=1$，且 $\cos C+(2a+c)\cos B=0$． 2022-04-17 20:22:48
25703 5964805a22a5da000986416e 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=A(x^2 - 2x){\rm e}^x-{\rm e}^x+1$，对任意的 $x\leqslant 0$，有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $A$ 的取值范围． 2022-04-17 20:22:48
25702 598aa5da40b385000cb72e74 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=A(x^2 - 2x){\rm e}^x-{\rm e}^x+1$，对任意的 $x\leqslant 0$，有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $A$ 的取值范围． 2022-04-17 20:21:48
25701 597709c708809e0009944ab3 高中 解答题 高中习题 如图，$P$ 是抛物线 $y^2=2x$ 上的动点，点 $B$，$C$ 在 $y$ 轴上，圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 内切于 $\triangle PBC$，求 $\triangle PBC$ 面积的最小值． 2022-04-17 20:21:48
25700 598d0fa7de229f000b9a0f41 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\lg a+ \lg b+\lg c=0$，证明：$1<\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}<2$． 2022-04-17 20:20:48
25699 598d0fa7de229f000b9a0f42 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0 = \dfrac 1 k, a_n = a_{n-1} + \dfrac 1 {n^2}a_{n-1}^2$，其中 $k$ 为正整数．如果对于所有的 $n \in \mathbb N^*$，都有 $a_n<1$，求 $k$ 的取值范围． 2022-04-17 20:20:48
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