求证：$\dfrac{\ln 2}{2^4}+\dfrac{\ln 3}{3^4}+\cdots +\dfrac{\ln n}{n^4}<\dfrac{1}{4{\rm e}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于当 $k=2,\cdots,n$ 时，有\[\dfrac{\ln k}{k}<\dfrac{1}{\rm e},\]于是只需要证明$$\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\cdots +\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{4},$$而$$\dfrac{1}{k^3}<\dfrac 1{(k-1)k(k+1)}=\dfrac 12\left[\dfrac{1}{(k-1)k}-\dfrac{1}{k(k+1)}\right],$$于是不等式显然成立．
答案
解析
备注
