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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25798 598ab33d7295a3000ab7ac13 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A,B$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$ 的左、右顶点，直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M,N$ 两点，记 $AM$ 的斜率为 $k_1$，$BN$ 的斜率为 $k_2
$，且 $k_1:k_2=1:9$．		 2022-04-17 20:11:49
25797 598ab33d7295a3000ab7ac14 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=1,a_2=4,a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}+1}(n\geqslant 2)$． 2022-04-17 20:10:49
25796 597ad2d20a41cd0009ba43d8 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a$，$m$ 满足 $a\leqslant 1$，$0<m \leqslant 2\sqrt 3$，函数 $f(x)=\dfrac {amx-mx^2}{a+a(1-a)^2m^2}$，$x \in (0,a)$．若存在 $a$，$m$，$x$，使 $f(x)\geqslant \dfrac {\sqrt 3}{2}$，求所有的实数 $x$ 的值． 2022-04-17 20:10:49
25795 597ad91a0a41cd000ac58dc0 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x-k\sqrt{x^2-1},x\geqslant1$，其中 $k$ 为给定的实数，且 $0<k<1$，试求 $f(x)$ 的值域． 2022-04-17 20:09:49
25794 598abbb291e035000a72f3d6 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x-k\sqrt{x^2-1},x\geqslant1$，其中 $k$ 为给定的实数，且 $0<k<1$，试求 $f(x)$ 的值域． 2022-04-17 20:08:49
25793 597addd4923066000751bbb8 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c,d$ 为正实数，$a+b+c+d=4$，求证：$a^2bc+b^2da+c^2da+d^2bc\leqslant4$． 2022-04-17 20:08:49
25792 59083598060a050008e62246 初中 解答题 真题 已知抛物线 $L:y=-\dfrac 12(x-t)(x-t+4)$（常数 $t>0$）与双曲线 $y=\dfrac{6}{x}$ 有个交点的横坐标为 $x_0$，且满足 $4\leqslant x_0\leqslant 6$，通过 $L$ 位置随 $t$ 变化的过程，求出 $t$ 的取值范围． 2022-04-17 20:08:49
25791 590836c2060a050008e62258 初中 解答题 真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 的坐标为 $\left(3,2\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(-1,2\right)$，若抛物线 $y = a{x^2}\left(a \ne 0\right)$ 与线段 $AB$ 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:07:49
25790 590835bd060a05000a4a983b 初中 解答题 真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C_1:y=x^2-2x-3$ 向上平移 $n$ 个单位，得到抛物线 $C_2$，若当 $0\leqslant x\leqslant \dfrac 52$ 时，抛物线 $C_2$ 与 $x$ 轴只有一个公共点，结合函数图象，求 $n$ 的取值范围． 2022-04-17 20:07:49
25789 597ae71b923066000adc649b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\odot O$ 与 $\triangle ABC$ 的边 $AB,AC$ 分别相切于 $P,Q$，与 $\triangle ABC$ 外接圆相切于点 $D$，$M$ 是 $PQ$ 的中点（如图）．求证：$\angle POQ=2\angle MDC$． 2022-04-17 20:06:49
25788 598ac90491e0350007fda064 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c$ 为正实数，求证：\[abc \geqslant \dfrac{a+b+c}{\dfrac 1{a^2}+\dfrac 1{b^2}+\dfrac 1{c^2}}\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).\] 2022-04-17 20:06:49
25787 598ac90491e0350007fda065 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $y^2=2px$ 过定点 $C(1,2)$，在抛物线上任取不同于点 $C$ 的一点 $A$，直线 $AC$ 与直线 $y=x+3$ 交于点 $P$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $B$． 2022-04-17 20:06:49
25786 59083674060a050008e62250 初中 解答题 真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=\dfrac 12x^2-x+2$ 与 $y$ 轴交于点 $A$，顶点为 $B$，点 $C$ 与点 $A$ 关于抛物线的对称轴对称．点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $4$．将抛物线在点 $A,D$ 之间的部分（包含点 $A,D$）记为图象 $G$，若图象 $G$ 向下平移 $t\left(t>0\right)$ 个单位后与直线 $BC$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围． 2022-04-17 20:05:49
25785 59082715060a05000980afb8 初中 解答题 真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于点 $P\left(a,b\right)$ 和点 $Q\left(a,b'\right)$，给出如下定义：
若 $b'=\begin{cases}
b,&a\geqslant 1,\\
-b,&a<1,
\end{cases}$ 则称点 $Q$ 为点 $P$ 的限变点．
例如，点 $\left(2,3\right)$ 的限变点的坐标是 $\left(2,3\right)$，点 $\left(-2,5\right)$ 的限变点的坐标是 $\left(-2,-5\right)$．		 2022-04-17 20:04:49
25784 5908369f060a050008e62254 初中 解答题 真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 在抛物线 $y=\dfrac 12x^2-x-4$ 上，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线 $l$，垂足为 $D\left(0,d\right)$．将抛物线在直线 $l$ 上方的部分沿直线 $l$ 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象 $G$．当图象 $G$ 与直线 $y=\dfrac 12x-2$ 只有两个公共点时，求 $d$ 的取值范围． 2022-04-17 20:04:49
25783 597e7ff0d05b90000addb23b 高中 解答题 高中习题 求证：$\arctan \dfrac 12+\arctan \dfrac 13=\dfrac{\pi}4$． 2022-04-17 20:03:49
25782 5985ead45ed01a0008fa5e8e 高中 解答题 高中习题 求证：$\arctan \dfrac 12+\arctan \dfrac 13=\dfrac{\pi}4$． 2022-04-17 20:03:49
25781 597e800ad05b90000addb23e 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}=\tan 3x$． 2022-04-17 20:02:49
25780 597e8064d05b90000addb245 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)$ 是二次函数，不等式 $f(x)<0$ 的解集是 $(0,5)$，且 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值是 $12$． 2022-04-17 20:01:49
25779 597e80f9d05b90000916507c 高中 解答题 高中习题 求复数 $2 + 2{{\rm{e}}^{\frac{2}{5}{\rm{\pi i}}}} + {{\rm{e}}^{\frac{6}{5}{\rm{\pi i}}}}$ 的模，其中 $r{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} = r\left( {\cos \theta + {\rm{i}}\sin \theta } \right)$． 2022-04-17 20:01:49
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