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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26818 5966ee96030398000978b2fa 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A$ 为抛物线 $y^2=2x$ 上的动点，定点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$，以 $AB$ 为直径作圆 $C$．若圆 $C$ 截直线 $l:x+ky-\dfrac 32=0$ 所得的弦长为定值，求此弦长和实数 $k$ 的值． 2022-04-17 20:31:58
26817 59081fe1060a05000980af99 初中 解答题 真题 $m$ 为有理数，问 $k$ 为何值时，方程 $x^2-4mx+4x+3m^2-2m+4k=0$ 的根为有理数？ 2022-04-17 20:31:58
26816 590825b0060a050008e62201 初中 解答题 真题 已知关于 $x$ 的方程 $x^2-2\left(2m-3\right)x+4m^2-14m+8=0\left(m>0\right)$ 有两个不相等的实数根，若 $12<m<40$，且方程的两个根为整数，求整数 $m$ 的值． 2022-04-17 20:30:58
26815 593a3c552da6d2000be298c9 初中 解答题 其他 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+2m-1=0$ 的根都是整数，若 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值． 2022-04-17 20:30:58
26814 5966f1ca0303980008983d3b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的内部一点，$\angle BAO =\angle CAO=\angle CBO=\angle ACO$，试探究 $\triangle ABC$ 的三边满足的关系，并证明你的结论． 2022-04-17 20:29:58
26813 592fd3478020230008f59a63 初中 解答题 其他 二次函数 $y=(m+2)x^2-2(m+2)x-m+5$，其中 $m+2>0$． 2022-04-17 20:28:58
26812 5966f1de030398000abf1530 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$，$I$ 是三角形的内心，直线 $AI,BI$ 分别交 $\odot O$ 于 $D,E$，过点 $I$ 作直线 $l_1\parallel AB$，又过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线 $l_C$，若 $l_C$ 与 $l_I$ 相交于 $F$．证明：$D,E,F$ 三点共线． 2022-04-17 20:28:58
26811 5966f228030398000978b313 高中 解答题 自招竞赛 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似满足周期性规律，因而第 $n$ 个月从事旅游服务工作的人数 $f(n)$ 可近似地用函数 $f(n)=100[A\cos(\omega n +\alpha)+k]$ 来刻画，其中正整数 $n$ 表示月份且 $n \in \mathbb N^*$，例如 $n=1$ 表示 $1$ 月份，$A$ 和 $k$ 是正整数，$\omega >0$，$\alpha \in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的 $8$ 月份和最少的 $2$ 月份相差约 $400$ 人；
③ $2$ 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为 $100$ 人，随后逐月递增直到 $8$ 月份达到最多．		 2022-04-17 20:27:58
26810 5966f24f030398000978b316 高中 解答题 自招竞赛 若实数 $x_0$ 满足 $f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个不动点．已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+3$（其中 $a$，$b$ 为常数）有互异的两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$．
试判断是否存在实数组 $(a,b)$，使得 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为不动点，并证明你的结论．		 2022-04-17 20:26:58
26809 5966f46e030398000abf1551 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a>0$，$b>0$．求证：$\dfrac {(a+b)^2}{2}+\dfrac {a+b}{4}\geqslant a\sqrt b+b\sqrt a$（等号成立当且仅当 $a=b=\dfrac 14$）． 2022-04-17 20:26:58
26808 5976a9236b0745000705b9a3 高中 解答题 高中习题 已知 $a>0$，$b>0$．求证：$\dfrac {(a+b)^2}{2}+\dfrac {a+b}{4}\geqslant a\sqrt b+b\sqrt a$（等号成立当且仅当 $a=b=\dfrac 14$）． 2022-04-17 20:25:58
26807 5966f49f030398000bbee81e 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b >0$ 且 $a^2+b^2=1$．已知 $\sin \alpha +\sin \beta+\sin \gamma \geqslant 3a $（$0<\alpha,\beta,\gamma <\dfrac {\pi}{2}$）．求证：$\cos \alpha +\cos \beta+\cos \gamma \leqslant 3b$，并求不等式取等号的条件． 2022-04-17 20:25:58
26806 5966f503030398000abf1554 高中 解答题 自招竞赛 设椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a> b>0$）的中心为 $O$，其上两点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$ 满足 $\overrightarrow {OP_1}\perp \overrightarrow {OP_2}$．证明：$$\dfrac {1}{\left|\overrightarrow {OP_1}\right|^2}+\dfrac {1}{\left|\overrightarrow {OP_2}\right|^2}=\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {1}{b^2}.$$ 2022-04-17 20:24:58
26805 5966fd9d030398000abf1560 高中 解答题 高中习题 平面直角坐标 $xOy$ 中，$P$ 是不在 $x$ 轴上的一个动点，满足条件：过 $P$ 可作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，两切点连线 $l_P$ 与 $PO$ 垂直．设直线 $l_P$ 与直线 $PO$，$x$ 轴的交点分别为 $Q$，$R$． 2022-04-17 20:24:58
26804 5976b6026b07450009684b64 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：$$ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.$$ 2022-04-17 20:23:58
26803 5966fe54030398000bbee832 高中 解答题 高中习题 设实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：$$ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.$$ 2022-04-17 20:22:58
26802 5955a68fd3b4f900095c653d 初中 解答题 其他 2022-04-17 20:21:58
26801 59093dd0060a05000970b302 初中 解答题 真题 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=60^\circ$． 2022-04-17 20:21:58
26800 59093e46060a05000a338fbf 初中 解答题 真题 如图，正方形 $ABCD$ 外一点 $E$，满足 $ED=EC$，且 $\angle DEA=15^\circ$，求证：$\triangle DEC$ 为等边三角形． 2022-04-17 20:21:58
26799 59094009060a05000970b314 初中 解答题 真题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC=10$，$\angle BAC=45^\circ$，$BC=CD$，$\angle BCD=90^\circ$，求 $AD$ 的长． 2022-04-17 20:20:58
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