设 $a,b >0$ 且 $a^2+b^2=1$．已知 $\sin \alpha +\sin \beta+\sin \gamma \geqslant 3a $（$0<\alpha,\beta,\gamma <\dfrac {\pi}{2}$）．求证：$\cos \alpha +\cos \beta+\cos \gamma \leqslant 3b$，并求不等式取等号的条件．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛新疆维吾尔族自治区预赛
【标注】
【答案】
当且仅当 $\cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=b$ 时不等式取等号
【解析】
令$$A=(\sin \alpha +\sin \beta+\sin \gamma)^2+(\cos \alpha +\cos\beta+\cos \gamma)^2,$$则\[\begin{split} A&= (\sin ^2\alpha +\cos^2 \alpha)+(\sin ^2\beta+\cos^2 \beta)+(\sin ^2 \gamma +\cos ^2\gamma)\\&+2(\cos \alpha\cos \beta +\sin\alpha \sin \beta)+2(\cos \beta \cos \gamma+\sin \beta\sin \gamma )+2(\cos \gamma \cos \alpha+\sin \gamma \sin \alpha)\\&=3+2\cos (\alpha-\beta)+2\cos (\beta-\gamma)+2\cos (\alpha-\gamma)\\&\leqslant 3+2+2+2=9.\end{split}\]当且仅当 $\alpha=\beta=\gamma$ 时不等式取等号．
因此，$$ (\cos \alpha +\cos\beta+\cos \gamma)^2=A-(\sin \alpha +\sin \beta+\sin \gamma)^2\leqslant 9-9a^2=9b^2.$$由此得到$$ \cos \alpha +\cos\beta+\cos \gamma \leqslant 3b,$$当且仅当 $\cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=b$ 时不等式取等号．
因此，$$ (\cos \alpha +\cos\beta+\cos \gamma)^2=A-(\sin \alpha +\sin \beta+\sin \gamma)^2\leqslant 9-9a^2=9b^2.$$由此得到$$ \cos \alpha +\cos\beta+\cos \gamma \leqslant 3b,$$当且仅当 $\cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=b$ 时不等式取等号．
答案
解析
备注
