题目 二次函数 $y=(m+2)x^2-2(m+2)x-m+5$，其中 $m+2>0$． 问题1 过动点 $C(0,n)$ 作直线 $l\perp y$ 轴．<br/>（i）当直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点时，求 $n$ 与 $m$ 的函数关系式；<br/>（ii）若抛物线与 $x$ 轴有两个交点，将抛物线在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当 $n=7$ 是，直线 $l$ 与新图象恰好有三个公共点，求此时 $m$ 的值． 答案1 （i）$n$ 与 $m$ 的函数关系式为 $n=-2m+3$；<br/>（ii）此时 $m$ 的值为 $5$ 解析1 （i）因为直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，而抛物线开口向上，<br/>所以抛物线的顶点在直线 $l$ 上．<br/>而 $y=(m+2)x^2-2(m+2)x-m+5=(m+2)(x-1)^2-2m+3$，<br/>即抛物线的顶点坐标为 $(1,-2m+3)$，<br/>所以 $n=-2m+3$；<br/>（ii）由题意可得抛物线顶点 $(1,-2m+3)$ 在 $x$ 轴的下方，且其关于 $x$ 轴的对称点 $(1,2m-3)$ 在直线 $l$ 上，<br/>所以 $2m-3=7$，即 $m=5$．<br/>故满足题意的 $m=5$． 备注1 问题2 若对于每一个给定的 $x$ 的值，它所对应的函数值都不小于 $1$，求 $m$ 的取值范围． 答案2 $m$ 的取值范围为 $-2<m\leqslant 1$ 解析2 抛物线的顶点坐标为 $(1,-2m+3)$．<br/>依题意可得 $\begin{cases}m+2>0,\\ -2m+3\geqslant 1,\end{cases}$<br/>解得 $-2<m\leqslant 1$．<br/>即满足题意的 $m$ 的取值范围为 $-2<m\leqslant 1$． 备注2