$m$ 为有理数，问 $k$ 为何值时，方程 $x^2-4mx+4x+3m^2-2m+4k=0$ 的根为有理数？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $k=-\dfrac 54$ 时，原方程的根为有理数
【解析】
原方程整理为 $x^2-4(m-1)x+3m^2-2m+4k=0$，
所以
$\Delta=16(m-1)^2-4(3m^2-2m+4k)=4[m^2-6m+4(1-k)]$．
若原方程的根为有理数，
则 $4[m^2-6m+4(1-k)]$ 应是某个有理数的平方，
所以 $4(1-k)=9$，
即 $k=-\dfrac 54$．
故当 $k=-\dfrac 54$ 时，原方程的根为有理数．
所以
$\Delta=16(m-1)^2-4(3m^2-2m+4k)=4[m^2-6m+4(1-k)]$．
若原方程的根为有理数，
则 $4[m^2-6m+4(1-k)]$ 应是某个有理数的平方，
所以 $4(1-k)=9$，
即 $k=-\dfrac 54$．
故当 $k=-\dfrac 54$ 时，原方程的根为有理数．
答案
解析
备注
