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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26838 5965b744b3b3480007575948 高中 解答题 高中习题 已知 $ f(x)=x\ln x-ax $，$g(x)=-x^2-2$． 2022-04-17 20:42:58
26837 59656f9caf3c000009358ac0 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 的内切圆与三边相切于点 $D,E,F$．证明：$\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 相似当且仅当 $\triangle ABC$ 是正三角形． 2022-04-17 20:42:58
26836 59656f9caf3c000009358ac1 高中 解答题 自招竞赛 证明：对任意实数 $a,b,c$ 都有\[\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}\geqslant \sqrt{3a^{2}+(a+b+c)^{2}}.\]并求等号成立的充分必要条件． 2022-04-17 20:41:58
26835 59754a6ad3e6ac000757eba7 高中 解答题 自招竞赛 证明：对任意实数 $a,b,c$ 都有\[\sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}\geqslant \sqrt{3a^{2}+(a+b+c)^{2}}.\]并求等号成立的充分必要条件． 2022-04-17 20:41:58
26834 5965bb9eb3b3480008d85d73 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 外切于点 $P$，$\odot O_2$ 与 $\odot O $ 内切于点 $Q$，线段 $O_1O_2$ 与 $PQ$ 交于点 $G$，过 $G$ 作 $\odot O_1$ 的切线 $GN$，切点为 $N$．求证：直线 $NG$ 与 $\odot O_2$ 也相切． 2022-04-17 20:40:58
26833 5965bbd2b3b3480009159e89 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$2 \leqslant x_i \leqslant 8$，$i=1,2,\cdots,n$．
证明：$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\cdots +\dfrac {1}{x_n}\right) \leqslant \left(\dfrac 54n\right)^2,$$并讨论何时等号成立．		 2022-04-17 20:40:58
26832 5966e3de030398000978b29e 高中 解答题 自招竞赛 过直线 $x-2y+13=0$ 上一动点 $A$（$A$ 不在 $y$ 轴上）作抛物线 $y^2=8x$ 的两条切线，$M,N$ 为切点，直线 $AM,AN$ 分别与 $y$ 轴交于点 $B,C$． 2022-04-17 20:40:58
26831 5966e835030398000bbee7d0 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，且 $a_{n+1}=2a_n+1$． 2022-04-17 20:39:58
26830 5966e865030398000978b2c1 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x^2+ax+\dfrac {1}{x^2}+\dfrac ax+b ( x \in \mathbb R,\text{且}x \neq 0)$．若实数 $a$，$b$ 使得 $f(x)=0$ 有实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值． 2022-04-17 20:39:58
26829 5966e870030398000abf14e2 高中 解答题 自招竞赛 如图，设 $S-ABCD$ 是一个高为 $3$ 的四棱锥，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，顶点 $S$ 在底面上的射影是正方形 $ABCD$ 的中心．$K$ 是棱 $SC$ 的中点，过 $AK$ 作平面与线段 $SB,SD$ 分别交于 $M,N$．（$M,N$ 可以是线段的端点）． 2022-04-17 20:38:58
26828 597592c46b0745000a701c4d 高中 解答题 自招竞赛 如图，设 $S-ABCD$ 是一个高为 $3$ 的四棱锥，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，顶点 $S$ 在底面上的射影是正方形 $ABCD$ 的中心．$K$ 是棱 $SC$ 的中点，过 $AK$ 作平面与线段 $SB,SD$ 分别交于 $M,N$．（$M,N$ 可以是线段的端点）． 2022-04-17 20:37:58
26827 5966e8b1030398000978b2c4 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac 12$，点 $F_1$，$F_2$ 分别为其左、右焦点，其右焦点 $F_2$ 到点 $E(-2,-1)$ 的距离为 $\sqrt {10}$．一动圆过点 $F_2$，且与直线 $x=-1$ 相切，记动圆圆心的轨迹为 $G$． 2022-04-17 20:37:58
26826 5923d74782e8bd0007791fb8 初中 解答题 其他 若抛物线 $y=x^2-\left(m-3\right)x-m$ 与 $x$ 轴交于 $A\left(x_1,0\right),B\left(x_2,0\right)$ 两点，则 $A,B$ 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：$AB={\left|{x_1-x_2}\right|}$）		 2022-04-17 20:36:58
26825 59759d406b0745000a701c6c 初中 解答题 其他 已知函数 $y_1=ax^2+bx$，$y_2=ax+b\left(ab\neq 0\right) $．在同一平面直角坐标系中．若函数 $y_2$ 的图象经过 $y_1$ 的顶点． 2022-04-17 20:35:58
26824 5913cd46e020e700094b0dc7 初中 解答题 其他 已知函数 $ y_1=ax^2+bx $，$ y_2=ax+b\left(ab\neq 0\right) $．在同一平面直角坐标系中．若函数 $ y_2 $ 的图象经过 $ y_1 $ 的顶点．当 $ 1<x<\dfrac{3}{ 2} $ 时，比较 $ y_1 $，$ y_2 $ 的大小． 2022-04-17 20:34:58
26823 59140f8a0cbfff0008aa057e 初中 解答题 其他 已知二次函数 $ y=-x^2+2x+3 $ 的最大值为 $4$，且抛物线过点 $\left(\dfrac 7 2 ,-\dfrac 9 4 \right)$．点 $P\left(t,0\right)$ 是 $x$ 轴上的动点，抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$，顶点为 $D$．设 $Q\left(0,2t\right)$ 是 $y$ 轴上的动点，若线段 $PQ$ 与函数 $y=a|x|^2-2a|x|+c$ 的图象只有一个公共点，求 $t$ 的取值． 2022-04-17 20:33:58
26822 59081bf0060a05000a4a97dd 初中 解答题 真题 已知整数 $m$ 满足 $6<m<20$，如果关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0$ 有有理根，求 $m$ 的值及方程的根． 2022-04-17 20:33:58
26821 591bae3a1f7ee1000c26c528 初中 解答题 其他 已知二次函数 $y = {x^2} + bx + c$（$b$，$c$ 为常数）．当 $c=b^2$ 时，若在自变量 $x$ 的值满足 $b\leqslant x\leqslant b+3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为 $21$，求此时二次函数的解析式． 2022-04-17 20:32:58
26820 5923969b623a97000bca74b6 初中 解答题 其他 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2-\left(m+2\right)x+2=0$． 2022-04-17 20:32:58
26819 5966ee5c030398000978b2f7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $b,c \in \mathbb R$，二次函数 $f(x)=x^2+bx+c$ 在 $(0,1)$ 上与 $x$ 轴有两个不同的交点，求 $c^2+(1+b)c$ 的取值范围 2022-04-17 20:32:58
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