题目 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似满足周期性规律，因而第 $n$ 个月从事旅游服务工作的人数 $f(n)$ 可近似地用函数 $f(n)=100[A\cos(\omega n +\alpha)+k]$ 来刻画，其中正整数 $n$ 表示月份且 $n \in \mathbb N^*$，例如 $n=1$ 表示 $1$ 月份，$A$ 和 $k$ 是正整数，$\omega >0$，$\alpha \in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：<br/>① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；<br/>② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的 $8$ 月份和最少的 $2$ 月份相差约 $400$ 人；<br/>③ $2$ 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为 $100$ 人，随后逐月递增直到 $8$ 月份达到最多． 问题1 试根据已知信息，确定一个符合条件的 $f(n)$ 的表达式； 答案1 $f(n)=200\cos \left(\dfrac {\pi}{6}n+\dfrac {2\pi}{3}\right)+300$ 解析1 根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为 $12$，由此可得$$T=\dfrac { 2\pi}{\omega}=12,$$则 $\omega=\dfrac {\pi}{6}$．<br/>又因为在 $8$ 月份人数最多，所以$$\dfrac {\pi}{6}\times 8+\alpha=2k\pi,k \in \mathbb Z,$$结合 $\alpha \in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$，得 $\alpha =\dfrac {2\pi}{3}$．<br/>由规律 ② 可知，\[\begin {split}[f(n)]_{\max}&=f(8)=100A+100k,\\ [f(n)]_{\min}&=f(2)=-100A+100k,\end{split}\]所以$$f(8)-f(2)=200A=400,$$解得 $A=2$．<br/>又当 $n=2$ 时，$$f(2)=200\cos \left(\dfrac {\pi}{6}\cdot 2+\dfrac {2\pi}{3}\right)+100k=100,$$得 $k=3$．<br/>综上可得 $f(n)=200\cos \left(\dfrac {\pi}{6}n+\dfrac {2\pi}{3}\right)+300$ 符合条件． 备注1 问题2 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在 $400$ 或 $400$ 以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由． 答案2 $6$，$7$，$8$，$9$，$10$ 解析2 由条件可知，$$200\cos \left(\dfrac {\pi}{6}n+\dfrac {2\pi}{3}\right)+300\geqslant 400,$$可得$$ \cos \left(\dfrac {\pi}{6}n+\dfrac {2\pi}{3}\right)\geqslant \dfrac 12,$$解得$$12k-6 \leqslant n \leqslant 12k-2,k\in \mathbb Z.$$因为 $n\in [1,12]$，$n \in \mathbb N^*$，所以当 $k=1$ 时，$$6\leqslant n \leqslant 10,$$故$$n=6,7,8,9,10,$$即一年中的 $6$，$7$，$8$，$9$，$10$ 五个月是该地区的旅游“旺季”． 备注2