若实数 $x_0$ 满足 $f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个不动点．已知 $f(x)=x^3+ax^2+bx+3$（其中 $a$，$b$ 为常数）有互异的两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$．
试判断是否存在实数组 $(a,b)$，使得 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为不动点，并证明你的结论．
试判断是否存在实数组 $(a,b)$，使得 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为不动点，并证明你的结论．
【难度】
【出处】
2014年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
不存在
【解析】
不存在实数组 $(a,b)$，使得 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为不动点．证明如下：
因为 $f'(x)=3x^2+2ax+b$，由 $f(x)$ 有互异的两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，可知$$\Delta=4a^2-12b>0,$$即 $a^2>3b$．
由条件知，$x_1$，$x_2$ 是方程 $3x^2+2ax+b=0$ 的两个实根．
若存在实数组 $(a,b)$，使 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为 $f(x)$ 的不动点，则 $x_1$，$x_2$ 是方程$$ x^3+ ax^2+(b-1)x+3=0$$的两个实根，故多项式 $3x^2+2ax+b$ 整除多项式 $ x^3+ ax^2+(b-1)x+3$．
但由欧几里得除法，可得$$ x^3+ ax^2+(b-1)x+3=\left(\dfrac 13x+\dfrac a9\right)(3x^2+2ax+b)+\left(-\dfrac 29a^2+\dfrac 23b-1\right)x+\left(-\dfrac 19ab+3\right),$$其中$$-\dfrac 29a^2+\dfrac 23b-1=-\dfrac 29(a^2-3b)-1<0,$$故多项式 $3x^2+2ax+b$ 不整除多项式 $ x^3+ ax^2+(b-1)x+3$，矛盾．
因此不存在实数组 $(a,b)$，使得 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为不动点．
因为 $f'(x)=3x^2+2ax+b$，由 $f(x)$ 有互异的两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，可知$$\Delta=4a^2-12b>0,$$即 $a^2>3b$．
由条件知，$x_1$，$x_2$ 是方程 $3x^2+2ax+b=0$ 的两个实根．
若存在实数组 $(a,b)$，使 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为 $f(x)$ 的不动点，则 $x_1$，$x_2$ 是方程$$ x^3+ ax^2+(b-1)x+3=0$$的两个实根，故多项式 $3x^2+2ax+b$ 整除多项式 $ x^3+ ax^2+(b-1)x+3$．
但由欧几里得除法，可得$$ x^3+ ax^2+(b-1)x+3=\left(\dfrac 13x+\dfrac a9\right)(3x^2+2ax+b)+\left(-\dfrac 29a^2+\dfrac 23b-1\right)x+\left(-\dfrac 19ab+3\right),$$其中$$-\dfrac 29a^2+\dfrac 23b-1=-\dfrac 29(a^2-3b)-1<0,$$故多项式 $3x^2+2ax+b$ 不整除多项式 $ x^3+ ax^2+(b-1)x+3$，矛盾．
因此不存在实数组 $(a,b)$，使得 $x_1$ 和 $x_2$ 皆为不动点．
答案
解析
备注
