已知 $a>0$，$b>0$．求证：$\dfrac {(a+b)^2}{2}+\dfrac {a+b}{4}\geqslant a\sqrt b+b\sqrt a$（等号成立当且仅当 $a=b=\dfrac 14$）．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛新疆维吾尔族自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式等价于$$2(a+b)^2+ a+b \geqslant 4 a\sqrt b+4b\sqrt a .$$因为\[\begin{split}2(a+b)^2+ a+b &= 2 a^2+4ab+2b^2+ a+b\\&=\left(2a^2+\dfrac b2\right)+\left(2b^2+\dfrac a2\right)+\left(2ab+\dfrac a2\right)+\left(2ab+\dfrac b2\right)\\&\geqslant 2\sqrt {2a^2\cdot \dfrac b2}+ 2\sqrt {2a^2\cdot \dfrac a2}+ 2\sqrt {2ab\cdot \dfrac a2}+ 2\sqrt {2ab\cdot \dfrac b2}\\&= 4 a\sqrt b+4b\sqrt a.\end{split}\]等号成立当且仅当 $2a^2=\dfrac b2$，$2b^2=\dfrac a2$，$2ab=\dfrac a2$，$2ab=\dfrac b2$ 同时成立，由此解得当且仅当 $a=b=\dfrac 14$ 时，等号成立，所以原不等式成立．
答案
解析
备注
