已知 $A$ 为抛物线 $y^2=2x$ 上的动点，定点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$，以 $AB$ 为直径作圆 $C$．若圆 $C$ 截直线 $l:x+ky-\dfrac 32=0$ 所得的弦长为定值，求此弦长和实数 $k$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
弦长为 $\sqrt 3$，$k=0$
【解析】
设直线上的动点 $A$ 的坐标为 $(x_0,y_0)(y_0^2=2x_0)$，则以 $AB$ 为直径的圆的方程为$$(x-x_0)(x-2)+(y-y_0)y=0,\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$设直线 $l$ 与圆的交点 $P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$．
由 ① 联立直线方程 $x+ky-\dfrac 32=0$ 得$$4(1+k^2)y^2+4(kx_0-y_0-k)y+2x_0-3=0,$$所以$$y_1+y_2=\dfrac {-kx_0+y_0+k}{1+k^2},y_1y_2=\dfrac {2x_0-3}{4(1+k^2)},$$由 $ y_0^2=2x_0$ 以及两点之间的距离公式得$$|P_1P_2|=\sqrt {(1+k^2)(y_1-y_2)^2}=\sqrt {\dfrac {k^2y_0^4-4ky_0^3-8k^2y_0^2+8ky_0+16k^2+12}{4(1+k^2)}},$$令 $k=0$，得 $|P_1P_2|=\sqrt 3$．
因此弦长为 $\sqrt 3$，$k=0$．
由 ① 联立直线方程 $x+ky-\dfrac 32=0$ 得$$4(1+k^2)y^2+4(kx_0-y_0-k)y+2x_0-3=0,$$所以$$y_1+y_2=\dfrac {-kx_0+y_0+k}{1+k^2},y_1y_2=\dfrac {2x_0-3}{4(1+k^2)},$$由 $ y_0^2=2x_0$ 以及两点之间的距离公式得$$|P_1P_2|=\sqrt {(1+k^2)(y_1-y_2)^2}=\sqrt {\dfrac {k^2y_0^4-4ky_0^3-8k^2y_0^2+8ky_0+16k^2+12}{4(1+k^2)}},$$令 $k=0$，得 $|P_1P_2|=\sqrt 3$．
因此弦长为 $\sqrt 3$，$k=0$．
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