如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC=10$，$\angle BAC=45^\circ$，$BC=CD$，$\angle BCD=90^\circ$，求 $AD$ 的长．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$AD$ 的长为 $10\sqrt 3 $
【解析】
如图，过点 $C$ 作 $CE\perp AC$，使得 $CE=CA$，连接 $AE,BE$．
则 $\angle CAE=45^\circ$，$AE=\sqrt 2 AC=10\sqrt 2$．
易证 $\triangle ACD\cong \triangle ECB$，
所以 $AD=BE$．
而 $\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=90^\circ$，
所以 $AD=BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=10\sqrt 3$．
则 $\angle CAE=45^\circ$，$AE=\sqrt 2 AC=10\sqrt 2$．易证 $\triangle ACD\cong \triangle ECB$，
所以 $AD=BE$．
而 $\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE=90^\circ$，
所以 $AD=BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=10\sqrt 3$．
答案
解析
备注
