2014年全国高中数学联赛（二试 ）

略

若 $ab+bc+ca \leqslant \dfrac 14$，则命题已成立．
若 $ab+bc+ca > \dfrac 14$，不妨设 $a=\max \{a,b,c\}$．
因为$$a+b+c=1,$$所以 $a \geqslant \dfrac 13$．
又因为\[\begin{split}ab+bc+ca-\dfrac 14 &\leqslant \dfrac {(a+b+c)^2}{3}-\dfrac 14 \\&=\dfrac {1}{12} \leqslant \dfrac a4 ,\quad\cdots \cdots \text{ ① }\end{split}\]且\[\begin{split}ab+bc+ca-\dfrac 14 &=a(b+c)-\dfrac 14+bc \\&=a(1-a)-\dfrac {1}{4}+bc\\& \leqslant \dfrac 14 -\dfrac 14+bc=bc,\quad\cdots \cdots \text{ ② }\end{split}\]其中 ① 式等号在 $a=\dfrac 13$ 时成立，② 式等号在 $a=\dfrac 12$ 时成立，因此 ①② 中的等号不能同时成立．
由于 $ab+bc+ca - \dfrac 14>0$，将 ①② 两式相乘得$$\left(ab+bc+ca-\dfrac 14\right)^2 <\dfrac {abc}{4},$$即$$ab+bc+ca-\dfrac 14<\dfrac {\sqrt {abc}}{2},$$从而$$ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.$$