如图，正方形 $ABCD$ 外一点 $E$，满足 $ED=EC$，且 $\angle DEA=15^\circ$，求证：$\triangle DEC$ 为等边三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，过点 $D$ 作 $DF\perp DE$，使得 $DF=DE$，连接 $CF$ 交 $AE$ 于点 $G$，连接 $EF$．
易证 $\triangle ADE\cong \triangle CDF$，
所以 $\angle DFC=\angle DEA=15^\circ$，
从而 $\angle FGE=\angle FDE=90^\circ$，$\angle GFE=30^\circ$．
所以 $GE=\dfrac 12 FE=\dfrac {\sqrt 2}2 DF=\dfrac {\sqrt 2}2 CE$，
所以 $\angle GEC=45^\circ$，$\angle DEC=60^\circ$，
即 $\triangle DEC$ 为等边三角形．
易证 $\triangle ADE\cong \triangle CDF$，所以 $\angle DFC=\angle DEA=15^\circ$，
从而 $\angle FGE=\angle FDE=90^\circ$，$\angle GFE=30^\circ$．
所以 $GE=\dfrac 12 FE=\dfrac {\sqrt 2}2 DF=\dfrac {\sqrt 2}2 CE$，
所以 $\angle GEC=45^\circ$，$\angle DEC=60^\circ$，
即 $\triangle DEC$ 为等边三角形．
答案
解析
备注
