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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20378 5ca4148f210b28107f52aa11 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{8}}$ 是平面上任意取定的 $8$ 个点。对平面上任意取定的一条有向直线 $l$，设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{8}}$ 在该直线上的射影分别是 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{8}}$ 。如果这 $8$ 个射影两两不重合，依直线 $l$ 的方向依次排列为 ${{P}_{{{i}_{1}}}},{{P}_{{{i}_{2}}}},\cdots ,{{P}_{{{i}_{8}}}}$ 。这样，就得到了 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,}8$ 的一个排列 ${{i}_{1}}\text{,}{{i}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{i}_{8}}$（在图1中，此排列为 $2\text{,}1\text{,}8\text{,}3\text{,}7\text{,}4\text{,}6\text{,}5$）。设这 $8$ 个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为 ${{N}_{8}}\text{=}N\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots {{A}_{8}} \right)$ 。试求 ${{N}_{8}}$ 的最大值。 2022-04-17 19:15:59
20377 5ca41c56210b281080bfd8ae 高中 解答题 自招竞赛 已知 $D$ 是 $\Delta ABC$ 的边 $AB$ 上的任意一点，$E$ 是边 $AC$ 上的任意一点，连结 $DE$，$F$ 是线段 $DE$ 上的任意一点。设 $\frac{AD}{AB}=x\text{,}\frac{AE}{AC}=y\text{,}\frac{DF}{DE}=z$ 。证明：（1）$S\Delta BCF\text{=}\left( 1-x \right)yzS\Delta ABC$，$S\Delta CEF=x\left( 1-y \right)\left( 1-z \right)S\Delta ABC$；（2）$\sqrt[3]{S\Delta BDF}+\sqrt[3]{S\Delta CEF}\leqslant \sqrt[3]{S\Delta ABC}$ 2022-04-17 19:14:59
20376 5ca41c5d210b281080bfd8b3 高中 解答题 自招竞赛 某班有 $47$ 个学生，所用教室有 $6$ 排，每排有 $8$ 个座位，用 $\left( i\text{,}j \right)$ 表示位于第 $i$ 排第 $j$ 列的座位。新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 $\left( i\text{,}j \right)$，如果调整后的座位为 $\left( m,n \right)$，则称该生作了移动 $\left[ a\text{,}b \right]\text{=}\left[ i-m\text{,}j-n \right]$，并称为该生的位置数。所有学生的位置数之和记为 $S$ 。求 $S$ 的最大可能值与最小可能值之差。 2022-04-17 19:13:59
20375 5ca41c64210b28107f52aa43 高中 解答题 自招竞赛 如图，$ABCD$ 是圆内接四边形，$AC$ 是圆的直径，$BD\bot AC$，$AC$ 与 $BD$ 的交点为 $E$，$F$ 在 $DA$ 的延长线上。连结 $BF$，$G$ 在 $BA$ 的延长线上，使得 $DG\parallel BF$，$H$ 在 $BF$ 的延长线，$CH\bot GF$ 上。证明：$B,E,F,H$ 四点共圆。 2022-04-17 19:13:59
20374 5ca41c79210b281080bfd8c4 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n\left( n\geqslant 2 \right)$ 。求最大的实数 $\lambda $，使得不等式 ${{a}_{n}}^{2}\geqslant \lambda \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n-1}} \right)+2{{a}_{n}}$ 对任何满足 ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{n}}$ 的正整数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}$ 均成立 2022-04-17 19:12:59
20373 5ca41c7f210b281080bfd8c9 高中 解答题 自招竞赛 设 $\Delta ABC$ 的三边长分别为 $AB=c\text{,}BC=a\text{,}CA\text{=}b$，$a\text{,}b\text{,}c$ 互不相等，$AD,BE,CF$ 分别为 $\Delta ABC$ 的三条内角分线，且 $DE=DF$ 。证明：（1）$\frac{a}{b+c}\text{=}\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$；（2）$\angle BAC\text{}{{90}^{{}^\circ }}$ 2022-04-17 19:11:59
20372 5ca41c89210b281080bfd8ce 高中 解答题 自招竞赛 对于任意正整数 $n$，记 $n$ 的所有正约数组成的集合为 ${{S}_{n}}$ 。证明：${{S}_{n}}$ 中至少有一半元素的个位数为 $3$ 。 2022-04-17 19:10:59
20371 5ca41488210b28107f52aa0c 高中 解答题 自招竞赛 锐角 $\Delta ABC$ 的三条高分别为 $AD,BE,CF$ 。求证：$\Delta DEF$ 的周长不超过 $\Delta ABC$ 周长的一半。 2022-04-17 19:10:59
20370 5ca423d1210b281080bfd8ff 高中 解答题 自招竞赛 已知钝角 $\Delta ABC$ 的外接圆半径为 $1$ 。证明：存在一个斜边长为 $\sqrt{2}+1$ 的等腰直角三角形覆盖 $\Delta ABC$ 。 2022-04-17 19:09:59
20369 5ca423e1210b28107f52aa79 高中 解答题 自招竞赛 给定锐角 $\Delta ABC$，点 $O$ 为其外心，直线 $AO$ 交边 $BC$ 于点 $D$ 。动点 $E,F$ 分别位于边 $AB,AC$ 上，使得 $A,E,D,F$ 四点共圆。求证：线段 $EF$ 在边 $BC$ 上的投影长度为定值。 2022-04-17 19:09:59
20368 5ca4279e210b281080bfd919 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $P$ 在 $\Delta ABC$ 的外接圆上，直线 $CP,AB$ 相交于点 $E$，直线 $BP,AC$ 相交于点 $F$，边 $AC$ 的垂直平分线交边 $AB$ 于点 $J$，边 $AB$ 的垂直平分线交边 $AC$ 于点 $K$ 。求证：$\frac{C{{E}^{2}}}{B{{F}^{2}}}=\frac{AJ\cdot JE}{AK\cdot KF}$ 。 2022-04-17 19:09:59
20367 5ca312aa210b280b2256c1e8 高中 解答题 自招竞赛 解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$ 2022-04-17 19:08:59
20366 5ca42841210b28107f52aaa4 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a\text{,}b\left( a>b>0 \right)$，将长为 $a$ 宽为 $b$ 的矩形放入一个正方形内（包含边界）。问正方形的边至少为多长？ 2022-04-17 19:07:59
20365 5ca4282b210b281080bfd922 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的正实数 $a$，使得存在正整数 $n$ 及 $n$ 个互不相交的无限整数集合 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots \text{,}{{A}_{n}}$ 满足 ${{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}\bigcup \cdots \bigcup {{A}_{n}}\text{=}\mathbb{Z}$，而且对于每个 ${{A}_{i}}$ 中的任意两数 $b\text{}c$，都有 $b-c\geqslant {{a}^{i}}$ 。 2022-04-17 19:06:59
20364 5ca490c6210b281080bfd971 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b$ 为非零实数，$A=\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{a}{b^2}$，$B=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$，试比较 $A$ 与 $B$ 的大小． 2022-04-17 19:05:59
20363 5ca492fc210b281080bfd976 高中 解答题 高中习题 设 $a>0,a\not=1$，当 $x\in(0,1)$ 时，试比较 $|\log_a(1-x)|$ 与 $|\log_a(1+x)|$ 的大小． 2022-04-17 19:05:59
20362 5ca494f8210b28107f52aaeb 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c>0$，试比较 $a^{2a}b^{2b}c^{2c}$ 与 $a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$ 的大小． 2022-04-17 19:04:59
20361 5ca49943210b281080bfd97e 高中 解答题 高中习题 实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=-1$，求证：$x^2+5y^2+8z^2\geqslant 4$，并指出不等式等号成立的充分必要条件． 2022-04-17 19:04:59
20360 5ca49b23210b28107f52aaf1 高中 解答题 高中习题 设 $a、b、c$ 均为正数．求证：$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$． 2022-04-17 19:03:59
20359 5ca49cd9210b281080bfd987 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z$ 为正数，他们之中任何两个数的差的绝对值都不大于 $2$．证明：$$\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}>x+y+z.$$ 2022-04-17 19:02:59
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