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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20358 5ca56c7e210b28107f52ab17 高中 解答题 高中习题 设 $a>b>0$，且 $\dfrac{x}{a}<\dfrac{y}{b}$．证明：$$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)>\dfrac{x+y}{a+b}.$$ 2022-04-17 19:02:59
20357 5ca56f5b210b28107f52ab27 高中 解答题 高中习题 设 $a、b、c、d、e、f$ 都是自然数，且$$\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}>\dfrac{e}{f},af-be=1.$$求证：$d\geqslant b+f.$ 2022-04-17 19:01:59
20356 5ca56aa7210b28107f52aaf9 高中 解答题 自招竞赛 设凸四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$ 。 $\Delta OAD$ 和 $\Delta OBC$ 的外接圆交于点 $O$ 和 $M$，直线 $OM$ 分别交 $\Delta OAB$ 和 $\Delta OCD$ 的外接圆于点 $T$ 和 $S$ 。求证：$M$ 是线段 $TS$ 的中点。 2022-04-17 19:00:59
20355 5ca57b05210b28107f52ab4f 高中 解答题 高中习题 求证：对 $\forall$ 素数 $p\equiv1\pmod{3}$，$\exists d\in\mathbb{N}^{*}$ 及数列 ${a_n}$ 满足 $a_2=a_1=1,a_{n+1}=a_n+a_{n-1}^d$，且数列中任意一项均与 $p$ 互素． 2022-04-17 19:00:59
20354 5ca5a65e210b281080bfd9ed 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 为正整数，如果存在某个正整数 $n$，使得 $m$ 可以表示为 $n$ 和 $n$ 的正约数个数（包括 $1$ 和自身）的商，则称 $m$ 是“好数”。求证：（1）$1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}17$ 都是好数；（2）$18$ 不是好数。 2022-04-17 19:00:59
20353 5ca5a663210b28107f52ab59 高中 解答题 自招竞赛 设 $\Delta ABC$ 是锐角三角形，点 $D,E,F$ 分别在边 $BC,CA,AB$ 上，线段 $AD,BE,CF$ 经过 $\Delta ABC$ 的外心。已知以下六个比值 $\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA},\frac{AF}{FB},\frac{BF}{FA},\frac{AE}{EC},\frac{CD}{DB}$ 中至少有两个是整数。求证：$\Delta ABC$ 是等腰三角形。 2022-04-17 19:59:58
20352 5ca5a667210b28107f52ab5e 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\left( n>3 \right)$，非负实数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}$ 满足 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}\text{=}2$ 。求 $\frac{{{a}_{1}}}{a_{2}^{2}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{a_{3}^{2}+1}+\cdots +\frac{{{a}_{n}}}{a_{1}^{2}+1}$ 的最小值。 2022-04-17 19:59:58
20351 5ca5a66c210b28107f52ab63 高中 解答题 自招竞赛 平面内 $n\left( n\geqslant 3 \right)$ 个点组成集合 $S$，$P$ 是此平面内条 $m$ 直线组成的集合，满足 $S$ 关于 $P$ 中的每一条直线对称。求证：$m\leqslant n$，并问等号何时成立？ 2022-04-17 19:58:58
20350 5ca5a671210b28107f52ab69 高中 解答题 自招竞赛 设 $D$ 是 $\Delta ABC$ 内的一点，满足 $\angle DAC\text{=}\angle DCA\text{=}{{30}^{{}^\circ }}$，$\angle DBA\text{=}{{60}^{{}^\circ }}$，$E$ 是边 $BC$ 的中点，$F$ 是边 $AC$ 的三等分点，满足 $AF=2FC$ 。求证：$DE\bot EF$ 。 2022-04-17 19:58:58
20349 5ca5a675210b281080bfd9f5 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a\text{,}b\text{,}c\geqslant 0$，$a+b+c\text{=}1$ 。求证：$\sqrt{a+\frac{1}{4}{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant \sqrt{3}$ 。 2022-04-17 19:57:58
20348 5ca5a680210b28107f52ab74 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $0.5$ 分。如果赛后发现任何 $m$ 个棋手中都有一个棋手胜了其余 $m-1$ 个棋手，也有一个棋手输给了其余 $m-1$ 个棋手，就称此赛况具有性质 $P\left( m \right)$ 。 对给定的 $m\left( m\geqslant 4 \right)$，求 $n$ 的最小值 $f\left( m \right)$，使得对具有性质 $P\left( m \right)$ 的任何赛况，都有所有 $n$ 名棋手的得分各不相同。 2022-04-17 19:57:58
20347 5ca5b91a210b28107f52aba3 高中 解答题 自招竞赛 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}},\cdots $ 2022-04-17 19:56:58
20346 5ca5bd1f210b28107f52abb4 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,p,q>0$，$A=\dfrac{a^{p+q}+b^{p+q}}{2}$，$B=\left(\dfrac{a^p+b^p}{2}\right)\left(\dfrac{a^q+b^q}{2}\right)$．试比较 $A$ 和 $B$ 的大小． 2022-04-17 19:55:58
20345 5ca5bdaf210b28107f52abb9 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 都是正数，试分别比较下面两组数的大小： 2022-04-17 19:55:58
20344 5ca5bdff210b281080bfda29 高中 解答题 高中习题 设 $a>b>c$，求证 $a^2(b-c)+c^2(a-b)>b^2(a-c)$． 2022-04-17 19:54:58
20343 5ca5bed5210b28107f52abc1 高中 解答题 高中习题 设 $a_1>1$，$a_2>1$，$a_3>1$，$a_1+a_2+a_3=S$．今知对 $i=1,2,3$，都有 $\dfrac{a_i^2}{a_i-1}>S$．证明：$$\dfrac{1}{a_1+a_2}+\dfrac{1}{a_2+a_3}+\dfrac{1}{a_3+a_1}>1.$$ 2022-04-17 19:54:58
20342 5ca5bfb4210b281080bfda2f 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c\in\mathbb{R}^{+}$，试证：对任意实数 $x,y,z$，有$$x^2+y^2+z^2\geqslant 2\sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\left(\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}xy+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}yz+\sqrt{\dfrac{c+a}{b}}zx\right).$$ 2022-04-17 19:53:58
20341 5ca5c046210b281080bfda35 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c$ 为同一三角形三边长，求证：$a^4+b^4+c^4\leqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$． 2022-04-17 19:52:58
20340 5ca5c0d1210b281080bfda3c 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 为正数，求证：$$\dfrac{a^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{b^2}{(b+c)(b+a)}+\dfrac{c^2}{(c+a)(c+b)}\geqslant\dfrac{3}{4}.$$ 2022-04-17 19:51:58
20339 5ca5c164210b28107f52abca 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 均为正数，它们的和是 $1$．求证：$$\dfrac{a_1^2}{a_1+a_2}+\dfrac{a_2^2}{a_2+a_3}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}^2}{a_{n-1}+a_n}+\dfrac{a_n^2}{a_n+a_1}\geqslant\dfrac{1}{2}.$$ 2022-04-17 19:51:58
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