设 $a、b、c$ 均为正数．求证：$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $c=\min\{a,b,c\}>0$．由于
LHS-RHS= $[a^3+b^3-ab(a+b)+2abc-c(a^2+b^2)]+[c^3+abc-c^2(a+b)]=[(a+b)(a-b)^2-c(a-b)^2]+c(c^2+ab-ca-cb)=(a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\geqslant 0$
所以 $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$．
LHS-RHS= $[a^3+b^3-ab(a+b)+2abc-c(a^2+b^2)]+[c^3+abc-c^2(a+b)]=[(a+b)(a-b)^2-c(a-b)^2]+c(c^2+ab-ca-cb)=(a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\geqslant 0$
所以 $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$．
答案
解析
备注
