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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20398 5c9c7678210b280b2397eb23 高中 解答题 高中习题 求最小的正整数 $n$，使得由 $10$ 个顶点，$n$ 条边的二染色简单图中，总存在单色三角形或单色四边形（即含 $4$ 条线段的圈）． 2022-04-17 19:26:59
20397 5c9d80ee210b280b2397eb2c 高中 解答题 自招竞赛 表达式 $A = 1 \times 2 + 3 \times 4 + 5\times 6 + \cdots + 37 \times 38$ 和表达式 $B= 1 + 2 \times 3 + 4 \times 5 + \cdots + 36 \times 37 + 38 \times39$ 是通过在连续的整数之间轮流添加 $ + $ 和 $\times $ 得到的。求 $\left| {A - B} \right|$ 2022-04-17 19:26:59
20396 5c9d80f0210b280b2256c182 高中 解答题 自招竞赛 九名参加经济会议的代表中有2人来自墨西哥，3人来自加拿大，4人来自美国。在开场环节，3名代表睡着了。假设睡着的3人是随机的，恰有两人来自同一国家的概率为 ${m \over n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 2022-04-17 19:25:59
20395 5c9d80f1210b280b2397eb33 高中 解答题 自招竞赛 质数 $p$ 满足 $16p+ 1$ 是完全立方数。求 $p$ 2022-04-17 19:25:59
20394 5c9d80f3210b280b2397eb38 高中 解答题 自招竞赛 点 $B$ 在线段 $\overline{AC} $ 上，满足 $AB = 16$ 且 $BC = 4$ 。点 $D$ 和点 $E$ 在直线 $AC$ 同侧且三角形 $ABD$ 和三角形 $BCE$ 是等边三角形。 $M$ 是线段 $\overline {AE} $ 的中点，$N$ 是线段 $\overline {CD} $ 的中点。三角形 $BMN$ 的面积为 $x$ 。求 ${x^2}$ 2022-04-17 19:24:59
20393 5c9d80f5210b280b2397eb3d 高中 解答题 自招竞赛 Sandy在抽屉里放了5双颜色不同的袜子。周一她从随机从中拿出两只袜子。周二她从剩余的8只袜子中随机拿出两只。周三她从剩余的6只袜子中随机拿出两只。Sandy周三才第一次拿到一双匹配的袜子的概率为 ${m \over n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。 2022-04-17 19:23:59
20392 5c9d80f6210b280b2397eb42 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 和 $E$ 均匀排列在圆的劣弧上。点 $E$，$F$，$G$，$H$，$I$ 和 $A$ 均匀排列在另一以 $C$ 为圆心的劣弧上。 $\angle ABD - \angle AHG = 12^\circ $ 。求 $\angle BAG$ 的角度。 2022-04-17 19:23:59
20391 5c9d80f8210b280b2397eb47 高中 解答题 自招竞赛 如图，$ABCD$ 为正方形。点 $E$ 是 $\overline {AD} $ 中点。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CE} $ 上，点 $H$ 和 $J$ 分别在 $\overline {AB} $ 和 $\overline {BC} $ 上，使得 $FGHJ$ 是正方形。点 $K$ 和 $L$ 在 $\overline {GH} $ 上，$M$ 和 $N$ 分别在 $\overline {AD} $ 和 $\overline {AB} $ 上，使得 $KLMN$ 是正方形。 $KLMN$ 的面积是99。求 $FGHJ$ 的面积。 2022-04-17 19:22:59
20390 5c9d80fa210b280b2397eb4d 高中 解答题 自招竞赛 $s(n)$ 是正整数 $n$ 的各位数字之和。求最小的正整数 $n$ 使得 $s(n) = s(n + 864) = 20$ 2022-04-17 19:22:59
20389 5c9d80fb210b280b2256c18b 高中 解答题 自招竞赛 $S$ 是满足 $1\leqslant {a_1},{a_2},{a_3} \leqslant 10$ 三元有序整数组 $\left({{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$ 的集合。 $S$ 中的每个元素可按照 ${a_n} = {a_{n - 1}} \cdot \left| {{a_{n - 2}} - {a_{n - 3}}}\right|$ $(n \geqslant 4)$ 生成一个数列。求满足存在 ${a_n} = 0$ 项的数列的个数。 2022-04-17 19:21:59
20388 5c9d80fe210b280b2397eb54 高中 解答题 自招竞赛 三次实系数多项式 $f(x)$ 满足 $\left| {f(1)} \right| = \left| {f(2)} \right| = \left| {f(3)}\right| = \left| {f(5)} \right| = \left| {f(6)} \right| = \left| {f(7)} \right|= 12$ 。求 $\left| {f(0)} \right|$ 2022-04-17 19:21:59
20387 5c9d8101210b280b2397eb59 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 三边长均为正整数且 $AB = AC$ 。 $I$ 是 $\angle B$ 和 $\angle C$ 角平分线的交点。若 $BI = 8$，求三角形 $ABC$ 周长的最小值。 2022-04-17 19:20:59
20386 5c9d8104210b280b2397eb5e 高中 解答题 自招竞赛 $\{ 1,2,3, \cdots ,2015\} $ 的所有1000元子集的最小元素的平均值为 ${p \over q}$，其中 $p$，$q$ 为互质的正整数。求 $p +q$ 。 2022-04-17 19:20:59
20385 5c9d810b210b280b2397eb69 高中 解答题 自招竞赛 对每个整数 $n \geqslant 2$，$A(n)$ 为坐标平面内 $1 \leqslant x \leqslant n$ 和 $0 \leqslant y \leqslant x\left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor $ 围成的区域的面积，其中 $\left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor $ 是不超过 ${\sqrt x }$ 的最大整数。求使得 $A(n)$ 是整数的 $n$ 的个数，其中 $2 \leqslant n \leqslant 1000$ 2022-04-17 19:19:59
20384 59706c5fdbbeff000aeab85e 高中 解答题 高中习题 解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$ 2022-04-17 19:19:59
20383 5c983a5b210b286d125ef63f 高中 解答题 高中习题 证明：在 $n\geqslant m\geqslant h$ 时，$\displaystyle \sum\limits_{k=h}^{n+h-m}{C_{n-k}^{m-h}C_{k}^{h}=C_{n+1}^{m+1}}$． 2022-04-17 19:18:59
20382 5ca41468210b281080bfd863 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的正整数 $n$，使得 $20n+2$ 能整除 $2003n+2002$ 2022-04-17 19:18:59
20381 5ca41478210b281080bfd86d 高中 解答题 自招竞赛 $\odot {{O}_{1}}\text{,}\odot {{O}_{2}}$ 相交于 $B,C$ 两点，且 $BC$ 是 $\odot {{O}_{1}}$ 的直径。过点 $C$ 作 $\odot {{O}_{1}}$ 的切线，交 $\odot {{O}_{2}}$ 于另一点 $E$，连结 $CE$ 并延长，交 $\odot {{O}_{2}}$ 于点 $F$ 。设点 $H$ 为线段 $AF$ 内的任意一点，连结 $HE$ 并延长，交 $\odot {{O}_{2}}$ 于点 $G$，连结 $BG$ 并延长，与 $AC$ 的延长线交于点 $D$ 。求证：$\frac{AH}{HF}=\frac{AC}{CD}$ 。 2022-04-17 19:17:59
20380 5ca4147d210b281080bfd872 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{n}}\left( n\geqslant 2 \right)$ 是 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的任意一个排列。求证：$\frac{1}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}+\frac{1}{{{P}_{2}}+{{P}_{3}}}+\cdots +\frac{1}{{{P}_{n-2}}+{{P}_{n-1}}}+\frac{1}{{{P}_{n-1}}+{{P}_{n}}}\text{}\frac{n-1}{n+2}$ 2022-04-17 19:16:59
20379 5ca41483210b281080bfd877 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数数对 $\left( x\text{,}y \right) $，满足 ${{x}^{y}}\text{=}{{y}^{x-y}}$ 2022-04-17 19:16:59
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