设 $x,y,z$ 为正数，他们之中任何两个数的差的绝对值都不大于 $2$．证明：$$\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}>x+y+z.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $|x-y|\leqslant 2$，两边平方得 $x^2-2xy+y^2\leqslant 4$，即 $x^2+2xy+y^2\leqslant 4+4xy$，所以 $2\sqrt{xy+1}\geqslant x+y$．
同理可得 $2\sqrt{yz+1}\geqslant y+z,2\sqrt{zx+1}\geqslant z+x$．
以上三个不等式相加，可得$$\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}\geqslant x+y+z.$$我们接下来证明上述等号不能成立，不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，于是不等式中等号的成立条件为 $x-y=2,y-z=2.x-z=2$，不可能成立．故原命题成立．
同理可得 $2\sqrt{yz+1}\geqslant y+z,2\sqrt{zx+1}\geqslant z+x$．
以上三个不等式相加，可得$$\sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}\geqslant x+y+z.$$我们接下来证明上述等号不能成立，不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，于是不等式中等号的成立条件为 $x-y=2,y-z=2.x-z=2$，不可能成立．故原命题成立．
答案
解析
备注
