某班有 $47$ 个学生，所用教室有 $6$ 排，每排有 $8$ 个座位，用 $\left( i\text{,}j \right)$ 表示位于第 $i$ 排第 $j$ 列的座位。新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 $\left( i\text{,}j \right)$，如果调整后的座位为 $\left( m,n \right)$，则称该生作了移动 $\left[ a\text{,}b \right]\text{=}\left[ i-m\text{,}j-n \right]$，并称为该生的位置数。所有学生的位置数之和记为 $S$ 。求 $S$ 的最大可能值与最小可能值之差。
【难度】
【出处】
2003第2届CGMO试题
【标注】
【答案】
24
【解析】
设上学期 $\left( {{i}_{0}}\text{,}{{j}_{0}} \right)$ 空位，新学期 $\left( {{i}_{1}}\text{,}{{j}_{1}} \right)$ 空位。则 $\displaystyle S\text{=}\left[\sum\limits_{i\text{=}1}^{6}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{8}{\left( i+j \right)-\left({{i}_{0}}+{{j}_{0}} \right)}} \right]-\left[\sum\limits_{i\text{=}1}^{6}{\sum\limits_{j\text{=}1}^{8}{\left( i+j\right)-\left( {{i}_{1}}+{{j}_{1}} \right)}} \right]\text{=}\left({{i}_{1}}+{{j}_{1}} \right)-\left( {{i}_{0}}+{{j}_{0}} \right)$ 。所以，${{S}_{\max}}\text{=}\left( 6+8 \right)-\left( 1+1\right)\text{=}12\text{,}{{\text{S}}_{\min }}\text{=}\left( 1+1 \right)-\left(6+8 \right)\text{=}-12$ 。故 $S$ 的最大值与最小值之差为 $24$ 。
答案
解析
备注
