给定正整数 $n\left( n\geqslant 2 \right)$ 。求最大的实数 $\lambda $，使得不等式 ${{a}_{n}}^{2}\geqslant \lambda \left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n-1}} \right)+2{{a}_{n}}$ 对任何满足 ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{n}}$ 的正整数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}}$ 均成立
【难度】
【出处】
2003第2届CGMO试题
【标注】
【答案】
$\lambda$ 的最大值为 $\frac{2n-4}{n-1}$
【解析】
当 ${{a}_{i}}=i,i=1,2,\cdots,n$ 时，$\frac{\lambda \leqslant \left( n-2\right)}{\frac{n-1}{2}}\text{=}\frac{2n-4}{n-1}$ 。下面证明不等式 ${{a}_{n}}^{2}\geqslant\frac{2n-4}{n-1}\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n-1}}\right)+2{{a}_{n}}$ 对任何满足 $0<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{n}}$ 的整数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots{{a}_{n}}$ 均成立。因为 ${{a}_{k}}\leqslant {{a}_{n}}-\left( n-k\right)\text{,}k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots\text{,}n-1\text{,}{{a}_{n}}\geqslant n$，所以 $\displaystyle \frac{2n-4}{n-1}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n-1}{{{a}_{k}}\leqslant\frac{2n-4}{n-1}}\left[ \left( n-1 \right){{a}_{n}}-\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\right]\leqslant \left( 2n-4 \right){{a}_{n}}-n\left( n-2 \right)\text{=}\left( n-1\right)\left( 2{{a}_{n}}-n \right)\leqslant \left( {{a}_{n}}-2 \right){{a}_{n}}$ 故 ${{a}_{n}}^{2}\geqslant\frac{2n-4}{n-1}\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n-1}} \right)+2{{a}_{n}}$ 。因此，$\lambda$ 的最大值为 $\frac{2n-4}{n-1}$ 。
答案
解析
备注
