给定实数 $a\text{,}b\left( a>b>0 \right)$，将长为 $a$ 宽为 $b$ 的矩形放入一个正方形内（包含边界）。问正方形的边至少为多长？
【难度】
【出处】
2005第4届CGMO试题
【标注】
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}\left( a+b \right)$
【解析】
设长方形为 $ABCD$，$AB=a$，$BC\text{=}b$，中心为点 $O$ 。以 $O$ 为原点，建立直角坐标系，$x$ 轴、$y$ 轴分别与正方形的边平行。下面分两种情形讨论。（1）线段 $BC$ 与坐标轴不相交。如图，不妨设 $BC$ 在第一象限内，则有 $\angle BOX\leqslant \frac{1}{2}\left( {{90}^{{}^\circ }}-\angle BOC \right)$ 。此时，正方形的边长 $\geqslant BD\cos \angle BOX\geqslant BD\cos \frac{{{90}^{{}^\circ }}-\angle BOC}{2}=BD\cos{{45}^{{}^\circ }}\cdot \cos \frac{\angle BOC}{2}+BD\sin {{45}^{{}^\circ}}\cdot \sin \frac{\angle BOC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( a+b \right)$ 所以，此时正方形边长至少为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b \right)$
（2）线段 $BC$ 与坐标轴不相交。如图，不妨设 $BC$ 与 $x$ 轴相交，且 $\angle COX\leqslant \frac{1}{2}\angle COB$ 。此时，正方形的边长 $\geqslant AC\cos \angle COX\geqslant AC\cos\frac{\angle COB}{2}=a$ 。所以此时正方形的边长至少为 $a$ 。
比较两个结论知：若 $a<\left( \sqrt{2}+1 \right)b$，则正方形的边长至少为 $a$ 。若 $a\geqslant\left( \sqrt{2}+1 \right)b$，正方形边长至少为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( a+b \right)$ 。
（2）线段 $BC$ 与坐标轴不相交。如图，不妨设 $BC$ 与 $x$ 轴相交，且 $\angle COX\leqslant \frac{1}{2}\angle COB$ 。此时，正方形的边长 $\geqslant AC\cos \angle COX\geqslant AC\cos\frac{\angle COB}{2}=a$ 。所以此时正方形的边长至少为 $a$ 。比较两个结论知：若 $a<\left( \sqrt{2}+1 \right)b$，则正方形的边长至少为 $a$ 。若 $a\geqslant\left( \sqrt{2}+1 \right)b$，正方形边长至少为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left( a+b \right)$ 。
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