如图，$ABCD$ 是圆内接四边形，$AC$ 是圆的直径，$BD\bot AC$，$AC$ 与 $BD$ 的交点为 $E$，$F$ 在 $DA$ 的延长线上。连结 $BF$，$G$ 在 $BA$ 的延长线上，使得 $DG\parallel BF$，$H$ 在 $BF$ 的延长线，$CH\bot GF$ 上。证明：$B,E,F,H$ 四点共圆。
【难度】
【出处】
2003第2届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $BH,EF,CG$ 。因为 $\Delta BAF\text{ }\!\!\tilde{ }\!\!\text{ }\Delta GAD$（1），则 $\frac{FA}{AB}=\frac{DA}{AG}$ 。因为 $\Delta ABE\tilde{ }\Delta ACD$，则 $\frac{AB}{EA}=\frac{AC}{DA}$（2）。 $\left( 1\right)\times \left( 2 \right)$ 得 $\frac{FA}{EA}=\frac{AC}{AG}$ 。因为 $\angle FAE=\angle CAG$，所以 $\Delta FAE\tilde{ }\Delta CAG$ 。于是，$\angle FEA=\angle CGA$ 。由题设知，$\angle CBG=\angle CHG={{90}^{{}^\circ }}$，从而 $B,C,G,H$ 四点共圆。故 $\angle BHC=\angle BGC$ 。于是 $\angle BHF+\angle BEF=\angle BHC+{{90}^{{}^\circ }}+\angle BEF=\angle BGC+{{90}^{{}^\circ }}+\angle BEF=\angle FEA+{{90}^{{}^\circ }}+\angle BEF={{180}^{{}^\circ }}$ 所以 $B,E,F,H$ 四点共圆。
答案
解析
备注
