解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$
【难度】
【出处】
2005第4届CGMO试题
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right),\left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right)$
【解析】
显然，$x,y,z$ 同号，于是先求其正数解．
因为
$\dfrac{2x}{1+x^2}:\dfrac{2y}{1+y^2}:\dfrac{2z}{1+z^2}=5:12:13,$
所以设 $x=\tan\dfrac{\alpha}2$，$y=\tan\dfrac{\beta}2$，$z=\tan\dfrac{\gamma}2$，则有
$\sin\alpha :\sin \beta:\sin \gamma=5:12:13.$ 又由 $xy+yz+zx=1$ 得 $\dfrac 1z=\dfrac{x+y}{1-xy},$ 即 $\cot\dfrac{\gamma}{2}=\tan\dfrac{\alpha+\beta}2,$ 于是 $\alpha+\beta+\gamma=\pi$，因此 $\sin \alpha=\dfrac{5}{13},\sin\beta=\dfrac{12}{13},\sin\gamma=1,$ 从而解得 $(x,y,z)=\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right).$
因此原方程有两组解：$\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right),\left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right)$．
因为
$\dfrac{2x}{1+x^2}:\dfrac{2y}{1+y^2}:\dfrac{2z}{1+z^2}=5:12:13,$
所以设 $x=\tan\dfrac{\alpha}2$，$y=\tan\dfrac{\beta}2$，$z=\tan\dfrac{\gamma}2$，则有
$\sin\alpha :\sin \beta:\sin \gamma=5:12:13.$ 又由 $xy+yz+zx=1$ 得 $\dfrac 1z=\dfrac{x+y}{1-xy},$ 即 $\cot\dfrac{\gamma}{2}=\tan\dfrac{\alpha+\beta}2,$ 于是 $\alpha+\beta+\gamma=\pi$，因此 $\sin \alpha=\dfrac{5}{13},\sin\beta=\dfrac{12}{13},\sin\gamma=1,$ 从而解得 $(x,y,z)=\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right).$
因此原方程有两组解：$\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right),\left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right)$．
答案
解析
备注
