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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20418 5c9c5088210b280b2397eae3 高中 解答题 高中习题 给定空间中 $10$ 个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值． 2022-04-17 19:37:59
20417 5c9c2c93210b280b2256c08d 高中 解答题 自招竞赛 一个正六棱柱的高为 $2$，其底面为边长为 $1$ 的正六边形。求由该正六棱柱的 $12$ 个顶点构成的所有三角形中等腰三角形（包含等边三角形）的个数 2022-04-17 19:36:59
20416 5c9c2ca0210b280b2256c094 高中 解答题 自招竞赛 求集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}\cdots \text{,}20 \right\}$ 满足下述条件的四元子集的个数：其中两个不同元素之和为 $16$，另两个不同元素之和为 $24$ 。例如，$\left\{ 3\text{,}5\text{,}13\text{,}19 \right\},\left\{ 6\text{,}10\text{,20,18} \right\}$ 均为满足条件的子集 2022-04-17 19:36:59
20415 5c9c2cb2210b280b2256c0a0 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $n$ 使得 ${{3}^{n}}$ 在 $143$ 进制下的末两位数字为 $01$ 。 2022-04-17 19:35:59
20414 5c9c2cb7210b280b2256c0a5 高中 解答题 自招竞赛 对 $U\text{=}\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}\cdots \text{,}18 \right\}$ 的每个子集 $T$，$s\left( T \right)$ 是其所有元素之和，并且定义 $s\left( 0 \right)\text{=}0$ 。从 $U$ 的所有子集中随机选取子集 $T$，$s\left( T \right)$ 是 $3$ 的倍数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,n}$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:35:59
20413 5c9c2cbd210b280b2397e9fc 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 中，$AB=30,BC=32,AC=34$ 。 $X$ 在边 $BC$ 上且不与端点重合，${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABX,\Delta ACX$ 的内切圆圆心。当 $X$ 在 $BC$ 上移动时，求 $\Delta A{{I}_{1}}{{I}_{2}}$ 面积的最小值 2022-04-17 19:34:59
20412 5c9c2cc5210b280b2397ea02 高中 解答题 自招竞赛 一只青蛙从七边形 $S{{P}_{1}}{{P}_{2}}{{P}_{3}}E{{P}_{4}}{{P}_{5}}$ 的顶点 $S$ 出发。对七边形除了 $E$ 之外的每个顶点，青蛙每步都可以向其任一相邻顶点跳。当到达 $E$ 时，青蛙便停在原地。求满足条件的不同的跳跃序列数，使得青蛙不超过 $12$ 步到达点 $E$ 2022-04-17 19:34:59
20411 5c9c2ccc210b280b2397ea07 高中 解答题 自招竞赛 David做了四根长度不同的木棍，这四根木棍可以做出 $3$ 个互不全等的四顶点共圆的凸四边形 $A,B,C$，这三个四边形外接圆半径均为 $1$ 。记 ${{\varphi }_{A}}$ 为四边形 $A$ 对角线构成的锐角的角度，${{\varphi }_{B}},{{\varphi }_{C}}$ 同理定义。已知 $\sin {{\varphi }_{A}}=\frac{2}{3},\sin {{\varphi }_{B}}=\frac{3}{5},\sin {{\varphi }_{C}}=\frac{6}{7}$，且 $A,B,C$ 面积均为 $K$ 。 $K$ 可以表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:33:59
20410 5c9c2c99210b280b2397e9f5 高中 解答题 自招竞赛 $ABCDEF$ 是内角相等的六边形，其中 $AB=6,BC=8,CD=10,DE=12$ 。 为可置于该六边形内的圆直径的最大值。求 ${{d}^{2}}$ 2022-04-17 19:32:59
20409 5c9c34a0210b280b2256c0db 高中 解答题 自招竞赛 $A,B,C$ 三点依次排在一直道上，$A,C$ 之间距离为 $1800$ 米。Ina跑步的速度时Eve的两倍，Pal跑步的速度是Ina的两倍。三人同一时刻出发，Ina从 $A$ 向 $C$，Paul从 $B$ 向 $C$，Eve从 $C$ 向 $A$ 。当Paul遇到Eve时，他掉头向 $A$ 。Paul和Ina同时到达 $B$ 。求 $A,B$ 之间的米数 2022-04-17 19:32:59
20408 5c9c34a8210b280b2397ea36 高中 解答题 自招竞赛 ${{a}_{0}}\text{=}2\text{,}{{a}_{1}}\text{=}5\text{,}{{a}_{2}}\text{=}8$ 。 $n\text{}2$ 时，${{a}_{n}}$ 的值为 $4\left( {{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}+{{a}_{n-3}} \right)$ 除以 $11$ 的余数。求 ${{a}_{2018}}\cdot {{a}_{2020}}\cdot {{a}_{2022}}$ 2022-04-17 19:31:59
20407 5c9c34b3210b280b2256c0e5 高中 解答题 自招竞赛 内角相等的八边形 $CAROLINE$，$CA=RO=LI=NE=\sqrt{2}$，$AR=OL=IN=EC=1$ 。自相交的八边形 $CORNELIA$ 围出了 $6$ 块互不重叠的三角形区域。 $K$ 为这 $6$ 块三角形区域面积之和，$K=\frac{a}{b}$，其中 $a\text{,}b$ 为互质正整数。求 $a+b$ 2022-04-17 19:31:59
20406 5c9c5ae0210b280b2397eb0b 高中 解答题 高中习题 设 $G$ 是 $n$ 阶简单图，$G$ 中不含四边形，则其边数 $e\leqslant \dfrac{1}{4}n(1+\sqrt{4n-3})$． 2022-04-17 19:30:59
20405 5c9c34c6210b280b2256c0eb 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$，$AB=9,BC=5\sqrt{3},AC=12$ 。点列 $A={{P}_{0}},{{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{2450}}=B$ 在线段 $AB$ 上，其中对 $k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$，${{P}_{k}}$ 在 ${{P}_{k-1}}\text{,}{{P}_{k+1}}$ 之间。点列 $A={{Q}_{0}},{{Q}_{1}},{{Q}_{2}},\cdots ,{{Q}_{2450}}=C$ 在边 $AC$ 上，其中对 $k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$，${{Q}_{k}}$ 在 ${{Q}_{k-1}},{{Q}_{k+1}}$ 之间。线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$，$k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$ 与 $BC$ 平行。这些平行线段将三角形划分为 $2450$ 个面积相等的区域，其中 $2449$ 个为梯形，$1$ 个为三角形。求长度为有理数的线段 ${{P}_{k}}{{Q}_{k}}$（$k\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}2449$）的个数 2022-04-17 19:30:59
20404 5c9c34cc210b280b2397ea49 高中 解答题 自招竞赛 一只青蛙在坐标平面的原点。从点 $\left( x\text{,}y \right)$ 出发，青蛙可以跳到 $\left( x+1\text{,}y \right)\text{,}\left( x+2\text{,}y \right)\text{,}\left( x\text{,}y+1 \right)\text{,}\left( x\text{,}y+2 \right)$ 四点中的任一点。求起点为 $\left( \text{0,0} \right)$ 终点为 $\left( \text{4,4} \right)$ 的不同的跳跃序列数 2022-04-17 19:29:59
20403 5c9c34d3210b280b2397ea4e 高中 解答题 自招竞赛 八边形 $ABCDEFGH$ 是从 $23\times 27$ 的矩形的四个角各去掉边长为 $6-8-10$ 的直角三角形得到的，其中 $AH$ 在矩形的短边上，$AB=CD=EF=GH=10,BC=DE=FG=HA=11$ 。 $J$ 为 $AH$ 中点，作线段 $JB,JC,JD,JE,JF,JG$ 将八边形划分为 $7$ 三角形。求以这七个三角形重心为顶点的凸多边形的面积。 2022-04-17 19:29:59
20402 5c9c34e4210b280b2256c0f5 高中 解答题 自招竞赛 凸四边形 $ABCD$ 中，$AB=CD=10,BC=14,AD=2\sqrt{65}$ 。 $ABCD$ 对角线交于点 $P$，$\Delta APB,\Delta CPD$ 面积之和等于 $\Delta BPC,\Delta APD$ 。求四边形 $ABCD$ 的面积 2022-04-17 19:28:59
20401 5c9c34ea210b280b2397ea5e 高中 解答题 自招竞赛 Misha不断扔一枚标准均匀的 $6$ 面骰子直到她连续依次扔出 $1,2,3$ 。她扔骰子总次数为奇数的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:28:59
20400 5c9c34ef210b280b2256c0fb 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $\Delta ABC$ 的内切圆 $\omega $ 与 $BC$ 相切于 $X$ 。 $Y$ 为 $AX$ 与圆 $\omega $ 的另一交点。 $P,Q$ 分别在 $AB,AC$ 上，使得 $PQ$ 与圆 $\omega $ 相切于 $Y$ 。已知 $AP=3,PB=4,AC=8$，则 $AQ=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:28:59
20399 5c9c6bd8210b280b2256c173 高中 解答题 高中习题 求最小的正整数 $n$，使当以任意方式将 $K_n$ 二染色，总存在两个单色三角形，二者恰有一条公共边． 2022-04-17 19:27:59
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