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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20438 5c99ef32210b280b2256bff9 高中 解答题 自招竞赛 ${{T}_{1}},{{T}_{2}}\text{,}{{T}_{3}}\text{,}{{T}_{4}}$ 都是决赛的种子选手。在半决赛中 ${{T}_{1}}\text{,}{{T}_{4}}$ 进行比赛，${{T}_{2}}\text{,}{{T}_{3}}$ 进行比赛。两场比赛的胜者将在决赛中对战决出胜者。 ${{T}_{i}}\text{,}{{T}_{j}}$ 进行比赛时，${{T}_{i}}$ 赢得比赛的概率为 $\frac{i}{i+j}$，每场比赛的结果都是相互独立的。 ${{T}_{4}}$ 最终夺冠的概率为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 19:48:59
20437 5c99ef39210b280b2397e955 高中 解答题 自招竞赛 一三角形的顶点为 $A\left( 0\text{,}0 \right)\text{,}B\left( 12\text{,}0 \right),C\left( 8\text{,}10 \right)$ 。在三角形内部随机选取一点，该点满足到 $B$ 的距离近于 $A,C$ 距离的概率为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 是互质正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 19:47:59
20436 5c99ef3e210b280b2256bfff 高中 解答题 自招竞赛 求大于 $0$ 小于 $2017$ 且三进制表示下不含 $0$ 的正整数的个数 2022-04-17 19:47:59
20435 5c99ef44210b280b2256c004 高中 解答题 自招竞赛 一个集合含有四个数。集合元素两两之和为 $189\text{,}320\text{,}287\text{,}234\text{,}x\text{,}y$ 。求 $x+y$ 的最大值 2022-04-17 19:46:59
20434 5c99ef49210b280b2397e95c 高中 解答题 自招竞赛 求使得 $\sqrt{{{n}^{2}}+85n+2017}$ 为整数的所有 $n$ 的和 2022-04-17 19:46:59
20433 5c99ef4e210b280b2256c00b 高中 解答题 自招竞赛 求区间 $\left[ -500\text{,}500 \right]$ 上的整数 $k$ 的个数，使得方程 $\log \left( kx \right)\text{=}2\log \left( x+2 \right)$ 有且仅有 $1$ 个根 2022-04-17 19:45:59
20432 5c99ef53210b280b2397e961 高中 解答题 自招竞赛 求小于 $2017$ 的正整数 $n$ 的个数使得 $1+n+\frac{{{n}^{2}}}{2\text{!}}+\frac{{{n}^{3}}}{3\text{!}}+\frac{{{n}^{4}}}{4\text{!}}+\frac{{{n}^{5}}}{5\text{!}}+\frac{{{n}^{6}}}{6\text{!}}$ 是整数 2022-04-17 19:45:59
20431 5c99ef58210b280b2397e967 高中 解答题 自招竞赛 一副特殊的牌有 $49$ 张，共有七种颜色且每张牌上标记 $1-7$ 中的一个数字。每个数字-颜色组合恰好对应一张牌。Sharon从这副牌中随机选取一组 $8$ 张牌。已知她选出的这组牌中包含了所有数字和所有颜色，她从中随机扔掉一张后剩余七张牌还包含所有颜色和数字的概率为 $\frac{p}{q}$，其中是互质正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 19:44:59
20430 5c99ef5e210b280b2397e96d 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 有 $AB\text{=}84,AD\text{=}42$ 。 $M$ 为 $AD$ 中点，为离 $A$ 较近的 $AB$ 的三分点，$O$ 为 $CM,DN$ 的交点。 $P$ 在四边形 $BCON$ 的边上，$BP$ 二分的面积 $BCON$ 。求 $\Delta CDP$ 的面积 2022-04-17 19:43:59
20429 5c99ef65210b280b2397e973 高中 解答题 自招竞赛 五个小镇被道路网连接，每两个小镇之间恰好有一条路。现给每条路都指定单一方向，求满足条件的指派数，使得任意两个起点、终点小镇之间都存在道路联通（可以经过其它小镇） 2022-04-17 19:43:59
20428 5c99ef6c210b280b2256c011 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{C}_{0}}$ 半径为 $1$，${{A}_{0}}$ 是圆 ${{C}_{0}}$ 上一点。圆 ${{C}_{1}}$ 半径为 $r\left( r\text{}1 \right)$ 且与圆 ${{C}_{0}}$ 内切于 ${{A}_{0}}$ 。 ${{A}_{1}}$ 在圆 ${{C}_{1}}$ 上且为 ${{A}_{0}}$ 绕 ${{C}_{1}}$ 逆时针转 ${{90}^{{}^\circ }}$ 的对应点。圆 ${{C}_{2}}$ 半径为 ${{r}^{2}}$ 且与圆 ${{C}_{1}}$ 内切于 ${{A}_{1}}$ 。依此类推，得到一系列圆 ${{C}_{1}}\text{,}{{C}_{2}}\text{,}{{C}_{3}}\text{,}\cdots $ 和一系列对应圆周上的点 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\cdots $，其中圆 ${{C}_{n}}$ 半径为 ${{r}^{n}}$，与圆 ${{C}_{n-1}}$ 内切于 ${{A}_{n-1}}$，${{A}_{n}}$ 在圆 ${{C}_{n}}$ 上且为 ${{A}_{n-1}}$ 绕 ${{C}_{n-1}}$ 逆时针转 ${{90}^{{}^\circ }}$ 的对应点（如下图所示）。存在在上述所有圆内的点 $B$ 。当 $r\text{=}\frac{11}{60}$，${{C}_{0}}$ 与 $B$ 之间的距离为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:42:59
20427 5c99ef72210b280b2256c017 高中 解答题 自招竞赛 对任意整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$，$f\left( n \right)$ 为正 $n$ 边形顶点构成集合的三元子集数，使得以其元素为顶点的三角形是等腰三角形（或等边三角形）。求满足 $f\left( n+1 \right)\text{=}f\left( n \right)+78$ 的所有 $n$ 的和 2022-04-17 19:41:59
20426 5c99ef78210b280b2256c01d 高中 解答题 自招竞赛 $10\times 10\times 10$ 的格点网络包含了所有空间坐标系中形如 $\left( i\text{,}j\text{,}k \right)\left( 1\leqslant i\text{,}j\text{,}k\leqslant 10 \right)$ 的点。求恰好包含其中 $8$ 个点的直线的个数 2022-04-17 19:41:59
20425 5c99ef80210b280b2397e979 高中 解答题 自招竞赛 四面体 $ABCD$ 满足 $AD=BC=28,AC=BD=44,AB=CD=52$ 。对空间中任意点 $X$，定义 $f\left( X \right)\text{=}AX+BX+CX+DX$ 。 $f\left( X \right)$ 的最小值具有形式 $m\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是正整数，$n$ 不含平方因子。求 $m+n$ 2022-04-17 19:40:59
20424 5c9c2c4d210b280b2397e9d6 高中 解答题 自招竞赛 $S$ 是满足条件的有序数对 $\left( a,b \right)$ 的个数，其中 $\text{0}\leqslant a\leqslant 100,b\geqslant 0$，且 ${{x}^{2}}+ax+b$ 可分解为两个整系数一次多项式的乘积。求 $S$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:40:59
20423 5c9c2c6f210b280b2397e9dc 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 在 $14$ 进制下具有形式 $\underline{abc}$，在 $15$ 进制下有形式 $\underline{acb}$，在 $6$ 进制下可写作 $\underline{acac}$，其中 $a\text{}0$ 。求 $10$ 进制下的 $n$ 2022-04-17 19:40:59
20422 5c9c2c75210b280b2397e9e2 高中 解答题 自招竞赛 Kathy有 $5$ 张红色牌和 $5$ 张绿色牌。她将这 $10$ 张牌洗牌打乱后随机抽取 $5$ 张排成一排。当且仅当抽取出的牌中所有红色牌依次相邻，所有绿色牌也依次相邻时，Kathy对于抽取排列的结果是满意的。例如，用 $R$ 代表红牌，$G$ 代表绿牌，则 $RRGGG,GGGGG,RRRRR$ 都是令Kathy满意的结果，而 $RRRGR$ 就不是。Kathy对结果满意的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:39:59
20421 5c9c2c7b210b280b2256c082 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 中，$AB=AC=10,BC=12$ 。 $D$ 在边 $AB$ 上且不与端点重合，$E$ 在边 $AC$ 上且不与端点重合，并且有 $AD=DE=EC$ 。则 $AD=\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 是互质的正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 19:38:59
20420 5c9c2c81210b280b2397e9e8 高中 解答题 自招竞赛 对每个满足 ${{\log }_{2}}\left( 2x+y \right)\text{=}{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+xy+7{{y}^{2}} \right)$ 的有序实数对 $\left( x\text{,}y \right)$，存在实数 $K$ 满足 ${{\log }_{3}}\left( 3x+y \right)\text{=}{{\log }_{9}}\left( 3{{x}^{2}}+4xy+K{{y}^{2}} \right)$ 。求所有可能的实数 $K$ 的乘积 2022-04-17 19:38:59
20419 5c9c2c88210b280b2256c088 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 是满足 $\left| z \right|\text{=}1\text{,}{{z}^{6\text{!}}}-{{z}^{5\text{!}}}$ 为实数的复数 $z$ 的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:37:59
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