实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=-1$，求证：$x^2+5y^2+8z^2\geqslant 4$，并指出不等式等号成立的充分必要条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $xy+yz+zx=-1$，所以
$x^2+5y^2+8z^2-4=x^2+5y^2+8z^2+4xy+4yz+4zx=(x^2+4y^2+4z^2+4xy+8yz+4zx)+(y^2+4z^2-4yz)=(x+2y+2z)^2+(y-2z)^2\geqslant 0$．所以，$x^2+5y^2+8z^2\geqslant 4$，其中等号成立的充要条件是\begin{cases}
x+2y+2z=0\\
y-2z=0\\
xy+yz+zx=-1.
\end{cases}解得 $(x,y,z)=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)$ 或 $\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$．
$x^2+5y^2+8z^2-4=x^2+5y^2+8z^2+4xy+4yz+4zx=(x^2+4y^2+4z^2+4xy+8yz+4zx)+(y^2+4z^2-4yz)=(x+2y+2z)^2+(y-2z)^2\geqslant 0$．所以，$x^2+5y^2+8z^2\geqslant 4$，其中等号成立的充要条件是\begin{cases}
x+2y+2z=0\\
y-2z=0\\
xy+yz+zx=-1.
\end{cases}解得 $(x,y,z)=\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)$ 或 $\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$．
答案
解析
备注
