求出所有的正实数 $a$，使得存在正整数 $n$ 及 $n$ 个互不相交的无限整数集合 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots \text{,}{{A}_{n}}$ 满足 ${{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}\bigcup \cdots \bigcup {{A}_{n}}\text{=}\mathbb{Z}$，而且对于每个 ${{A}_{i}}$ 中的任意两数 $b\text{}c$，都有 $b-c\geqslant {{a}^{i}}$ 。
【难度】
【出处】
2005第4届CGMO试题
【标注】
【答案】
$a$ 为所有小于 $2$ 的正实数
【解析】
若 $0<a<2$，当 $n$ 充分大时，有 ${{2}^{n-1}}\text{}{{a}^{n}}$ 。令 ${{A}_{i}}\text{=}\left\{\left. {{2}^{i-1}}m \right|m\text{=}2k+1\text{,}k\in \mathbb{N}\right\}\text{,}i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n-1$ ${{A}_{n}}\text{=}\left\{\left. {{2}^{n-1}}m \right|m\in \mathbb{N} \right\}$ 则该分拆满足要求。 若 $a\ge2$，设 ${{A}_{1}}\text{,}{{A}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{A}_{n}}$ 满足要求。令 $M\text{=}\left\{1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}{{2}^{n}} \right\}$，下面证明 $\left|{{A}_{i}}\bigcap M \right|\leqslant {{2}^{n-i}}$ 。设 ${{A}_{i}}\cap M=\left\{{{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{m}} \right\},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\cdots<{{x}_{m}}$，则 ${{2}^{n}}\text{}{{x}_{m}}-{{x}_{1}}\text{=}\left( {{x}_{m}}-{{x}_{m-1}}\right)+\left( {{x}_{m-1}}-{{x}_{m-2}} \right)+\cdots +\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}}\right)\geqslant \left( m-1 \right){{2}^{i}}$ 所以 $m-1\leqslant{{2}^{n-i}}$，即 $m\text{}{{2}^{n-i}}+1$ 。故 $m\leqslant {{2}^{n-i}}$ 。故 $\displaystyle {{2}^{n}}\text{=}\left|M \right|\text{=}\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{\left| {{A}_{i}}\bigcap M\right|\leqslant \sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{{{2}^{n-i}}\text{=}{{2}^{n}}-1}}$，矛盾。因此，所求的 $a$ 为所有小于 $2$ 的正实数。
答案
解析
备注
