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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20338 5caab8ec210b28107f52abf5 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$f(x)=\dfrac{a^x}{b^x+c^x}+\dfrac{b^x}{c^x+a^x}+\dfrac{c^x}{a^x+b^x}$ 在 $[0,+\infty]$ 单调递增，在 $(-\infty,0)$ 单调递减． 2022-04-17 19:50:58
20337 5cabfb5e210b2866bb0a692c 高中 解答题 高中习题 1 2022-04-17 19:49:58
20336 5cabfb61210b2866bb0a6931 高中 解答题 高中习题 2 2022-04-17 19:49:58
20335 5cabfb62210b2866bc0145e7 高中 解答题 高中习题 3 2022-04-17 19:48:58
20334 5cabfb64210b2866bc0145ec 高中 解答题 高中习题 4 2022-04-17 19:47:58
20333 5cabfb67210b2866bc0145f1 高中 解答题 高中习题 5 2022-04-17 19:47:58
20332 5cabfb69210b2866bb0a6939 高中 解答题 高中习题 6 2022-04-17 19:47:58
20331 5cabfb6c210b2866bb0a693e 高中 解答题 高中习题 7 2022-04-17 19:46:58
20330 5cabfb6d210b2866bb0a6943 高中 解答题 高中习题 8 2022-04-17 19:45:58
20329 5cac23df210b2866bc014623 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c,d$ 是正数，证明：
（1）$\dfrac{a+b+c}{3}\geqslant \sqrt[3]{abc}$；
（2）$\dfrac{a+b+c+d}{4}\geqslant \sqrt[4]{abcd}$．		 2022-04-17 19:44:58
20328 5cac2668210b2866bb0a696e 高中 解答题 高中习题 设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 都是正数，求证：$$\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}+\dfrac{x_n^2}{x_1}\geqslant x_1+x_2+\cdots+x_n.$$ 2022-04-17 19:44:58
20327 5cac27fc210b2866bb0a6991 高中 解答题 高中习题 设 $a,b,c,d$ 为非负实数，满足 $a+b+c=1$，求证：$$(1+a)(1+b)(1+c)\geqslant 8(1-a)(1-b)(1-c).$$ 2022-04-17 19:44:58
20326 5cac29ae210b281942e4f4c5 高中 解答题 高中习题 设正实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2<2(a+b+c)$．证明：$$3abc<4(a+b+c).$$ 2022-04-17 19:43:58
20325 5cac179a210b2866bc0145fb 高中 解答题 自招竞赛 （1）问能否将集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,96} \right\}$ 表示为它的 $32$ 个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}99 \right\}$ 表示为它的 $33$ 个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等 2022-04-17 19:43:58
20324 5cac17a5210b2866bc014607 高中 解答题 自招竞赛 求最小常数 $a\left( a \right.$ > $\left. 1 \right)$，使得对正方形 $ABCD$ 内部任一点 $P$，都存在 $\Delta PAB$、$\Delta PBC$、$\Delta PCD$、$\Delta PDA$ 中的某两个三角形，其面积之比属于区间 $\left[ {{a}^{-1}}\text{,}a \right]$ 。 2022-04-17 19:42:58
20323 5cac17aa210b2866bc01460c 高中 解答题 自招竞赛 在凸四边形 $ABCD$ 的外部分别作正 $\Delta ABQ$、$\Delta BCR$、$\Delta CDS$、$\Delta DAP$ 。记四边形 $ABCD$ 的对角线的和为 $x$，四边形 $PQRS$ 的对边中点连线的和为 $y$ 。求 $\frac{y}{x}$ 的最大值。 2022-04-17 19:42:58
20322 5cac17b0210b2866bb0a6952 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB=BC$，$AD=DC$，$E$、$F$ 分别是线段 $AB$、$AD$ 上一点，满足 $B$、$E$、$F$、$D$ 四点共圆。作 $\Delta DPE$ 顺向相似于 $\Delta ADC$，作 $\Delta BQF$ 顺向相似于 $\Delta ABC$ 。求证：$A$、$P$、$Q$ 三点共线。 注：两个三角形顺向相似是指他们的对应顶点按顺时针方向或按逆时针方向排列。 2022-04-17 19:41:58
20321 5cac17ba210b2866bc014618 高中 解答题 自招竞赛 给定一个 $2008\times 2008$ 的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同，在棋盘的每个小方格中填入 $C$、$G$、$M$、$O$ 这 $4$ 个字母中的一个，若棋盘中每一个 $2\times 2$ 的小棋盘中都有 $C$、$G$、$M$、$O$ 这 $4$ 个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”。问有多少种不同的和谐棋盘？ 2022-04-17 19:41:58
20320 5cac272b210b2866bc014641 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\Delta ABC$ 中，$\angle BAC\text{=}{{90}^{{}^\circ }}$，点 $E$ 在 $\Delta ABC$ 的外接圆 $\Gamma $ 的弧 $BC$（不含点 $A$）内，$AE$ > $EC$ 。联结 $EC$ 并延长至点 $F$，使得 $\angle EAC=\angle CAF$，联结 $BF$ 交圆 $\Gamma $ 于点 $D$，联结 $ED$，记 $\Delta DEF$ 的外心为 $O$ 。求证：$A$、$C$、$O$ 三点共线。 2022-04-17 19:41:58
20319 5cac2742210b2866bb0a6976 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，设点集 $\left\{ {{P}_{1}}\text{,}{{P}_{2}},\cdots \text{,}{{P}_{4n+1}} \right\}\text{=}\left\{ \left. \left( x\text{,}y \right) \right|x\text{,}y\in \mathbb{Z}\text{,}\left| x \right|\leqslant n\text{,}\left| y \right|\leqslant n\text{,}xy\text{=}0 \right\}$，其中 $n\in {{\mathbb{N}}_{+}}$ 。求 ${{\left( {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{2}}{{P}_{3}} \right)}^{2}}+\cdots +{{\left( {{P}_{4n}}{{P}_{4n+1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{4n+1}}{{P}_{1}} \right)}^{2}}$ 的最小值。 2022-04-17 19:40:58
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