设 $a,b,c>0$，试比较 $a^{2a}b^{2b}c^{2c}$ 与 $a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$ 的大小．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
做商
$\dfrac{a^{2a}b^{2b}c^{2c}}{a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}}=a^{2a-b-c}\cdot b^{2b-c-a}\cdot c^{2c-a-b}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{a-b}\cdot \left(\dfrac{b}{c}\right)^{b-c}\cdot\left(\dfrac{c}{a}\right)^{c-a}$．
由对称性，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c(>0)$．则
$\dfrac{a}{b}\geqslant 1,\dfrac{b}{c}\geqslant 1,0<\dfrac{c}{a}\leqslant 1,a-b\geqslant 0,b-c\geqslant 0,c-a\leqslant 0$．
所以 $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{a-b}\geqslant 1$，$\left(\dfrac{b}{c}\right)^{b-c}\geqslant 1$，$\left(\dfrac{c}{a}\right)^{c-a}\geqslant 1$．
所以$$\dfrac{a^{2a}b^{2b}c^{2c}}{a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}}\geqslant 1,$$其中等号当且仅当 $a=b=c$ 时成立．
所以，当 $a=b=c$ 时，$a^{2a}b^{2b}c^{2c}=a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$；当 $a,b,c$ 不全相等时，$a^{2a}b^{2b}c^{2c}>a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$．
$\dfrac{a^{2a}b^{2b}c^{2c}}{a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}}=a^{2a-b-c}\cdot b^{2b-c-a}\cdot c^{2c-a-b}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{a-b}\cdot \left(\dfrac{b}{c}\right)^{b-c}\cdot\left(\dfrac{c}{a}\right)^{c-a}$．
由对称性，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c(>0)$．则
$\dfrac{a}{b}\geqslant 1,\dfrac{b}{c}\geqslant 1,0<\dfrac{c}{a}\leqslant 1,a-b\geqslant 0,b-c\geqslant 0,c-a\leqslant 0$．
所以 $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{a-b}\geqslant 1$，$\left(\dfrac{b}{c}\right)^{b-c}\geqslant 1$，$\left(\dfrac{c}{a}\right)^{c-a}\geqslant 1$．
所以$$\dfrac{a^{2a}b^{2b}c^{2c}}{a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}}\geqslant 1,$$其中等号当且仅当 $a=b=c$ 时成立．
所以，当 $a=b=c$ 时，$a^{2a}b^{2b}c^{2c}=a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$；当 $a,b,c$ 不全相等时，$a^{2a}b^{2b}c^{2c}>a^{b+c}b^{c+a}c^{a+b}$．
答案
解析
备注
