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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20318 5cac2748210b2866bb0a697b 高中 解答题 自招竞赛 设平面上有 $n\left( n\geqslant 4 \right)$ 个点 ${{V}_{1}}\text{,}{{V}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{V}_{n}}$，任意三点不共线，某些点之间连有线段。把标号分别为 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的 $n$ 枚棋子放置在这 $n$ 个点处，每个点处恰有一枚棋子。现对这 $n$ 枚棋子进行如下操作：每次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置。若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这 $n$ 枚棋子，总能经过有限次操作后，是每个标号为 $k$ 的棋子在点 ${{V}_{k}}$ 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”。求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值。 2022-04-17 19:39:58
20317 5cac2755210b2866bc01464c 高中 解答题 自招竞赛 如图，圆 ${{\Gamma }_{1}}$、${{\Gamma }_{2}}$ 内切于点 $S$，圆 ${{\Gamma }_{2}}$ 的弦 $AB$ 与圆 ${{\Gamma }_{1}}$ 切于点 $C$，$M$ 是弧 $AB$（不含点 $S$）的中点，过点 $M$ 作 $MN\bot AB$，垂足为 $N$ 。记圆 ${{\Gamma }_{1}}$ 的半径为 $r$ 。求证：$AC\cdot CB=2r\cdot MN$ 2022-04-17 19:39:58
20316 5cac275b210b2866bb0a6983 高中 解答题 自招竞赛 在一个 $10\times 10$ 的方格表中有一个由 $4n$ 个 $1\times 1$ 的小方格组成的图形，它即可被 $n$ 个“”型的图形覆盖，也可被 $n$ 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖。求正整数 $n$ 的最小值。 2022-04-17 19:39:58
20315 5cac2761210b2866bb0a6988 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{a}_{n}}\text{=}n\sqrt{5}-\left[ n\sqrt{5} \right]$ 。求数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{2009}}$ 中的最大项和最小项，其中 $\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。 2022-04-17 19:38:58
20314 5cac2d43210b28193dc2e8e5 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$，设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{2n}}$ 是集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right\}$ 的两两不同的非空子集，记 ${{A}_{2n+1}}\text{=}{{A}_{1}}$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{2n}{\frac{\left| {{A}_{i}}\bigcap {{A}_{i+1}} \right|}{\left| {{A}_{i}} \right|\cdot \left| {{A}_{i+1}} \right|}}$ 的最大值。 2022-04-17 19:37:58
20313 5cac2d4d210b28193dc2e8eb 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\Delta ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是边 $BC$ 的中点，$E$ 是 $\Delta ABC$ 外一点，满足 $CE\bot AB$，$BE=BD$ 。过线段 $BE$ 的中点 $M$ 作直线 $MF\bot BE$，交 $\Delta ABD$ 的外接圆的劣弧 $AD$ 于点 $F$ 。求证：$ED\bot DF$ 。 2022-04-17 19:36:58
20312 5cac2d55210b28193dc2e8f0 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于每个正整数 $n$，都存在满足下面三个条件的质数 $p$ 和整数 $m$：（1）$p\equiv 5\left( \bmod 6 \right)$；（2）$p\nmid n$；（3）$n\equiv {{m}^{3}}\left( \bmod p \right)$ 。 2022-04-17 19:36:58
20311 5cac2d6b210b28193dc2e8f5 高中 解答题 自招竞赛 设实数 ${{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{n}}$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{x_{i}^{2}\text{=}1\left( n\geqslant 2 \right)}$ 。求证：$\displaystyle \sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{{{\left( 1-\frac{k}{\sum\limits_{i\text{=}1}^{n}{ix_{i}^{2}}} \right)}^{2}}}\frac{x_{k}^{2}}{k}\leqslant {{\left( \frac{n-1}{n+1} \right)}^{2}}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\frac{x_{k}^{2}}{k}}$，并确定等号成立的条件。 2022-04-17 19:35:58
20310 5cac2d70210b28193dc2e8fa 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f\left( x \right)\text{,}g\left( x \right)$ 都是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增的一次函数，$f\left( x \right)$ 为整数当且仅当 $g\left( x \right)$ 为整数。证明：对一切 $x\in \mathbb{R}$，$f\left( x \right)-g\left( x \right)$ 为整数。 2022-04-17 19:35:58
20309 5cac2d75210b281942e4f4d0 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\Delta ABC$ 中，$AB$ > $AC$，$M$ 是边 $BC$ 的中点，$\angle BAC$ 的外角平分线交直线 $BC$ 于点 $P$ 。点 $K$、$F$ 在直线 $PA$ 上，使得 $MF\bot BC$，$MK\bot PA$ 。求证：$B{{C}^{2}}=4PF\cdot AK$ 。 2022-04-17 19:34:58
20308 5cac2d7a210b28193dc2e901 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$ 。对于 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的任意一个排列 $P\text{=}\left( {{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{n}} \right)$，若 $i$ < $j$ < $k$，则称 ${{x}_{j}}$ 介于 ${{x}_{i}}$ 和 ${{x}_{k}}$ 之间（如在排列 $\left( 1\text{,}3\text{,}2\text{,}4 \right)$ 中，$3$ 介于 $1$ 和 $4$ 之间，$4$ 不介于 $1$ 和 $2$ 之间）。设集合 $S\text{=}\left\{ {{P}_{1}}\text{,}{{P}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{P}_{m}} \right\}$ 的每个元素 ${{P}_{i}}$ 是 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的排列。已知 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right\}$ 的任意三个不同数中都有一个数，它在每个 ${{P}_{i}}\left( 1\leqslant i\leqslant m \right)$ 中都不介于另外两个数之间。求 $m$ 的最大值。 2022-04-17 19:34:58
20307 5cac2d81210b28193dc2e906 高中 解答题 自招竞赛 试求满足下列条件的大于 $5$ 的最小奇数 $a$：存在正整数 ${{m}_{1}},{{n}_{1}},{{m}_{2}}\text{,}{{n}_{2}}$，使得 $a\text{=}m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\text{,}{{a}^{2}}\text{=}m_{2}^{2}+n_{2}^{2}$，且 ${{m}_{1}}-{{n}_{1}}\text{=}{{m}_{2}}-{{n}_{2}}$ 。 2022-04-17 19:33:58
20306 5cac35b8210b28193dc2e932 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的正整数 $\text{n}$，使得关于 $\text{x},y$ 的方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ 恰有2011组满足 $\text{x}\leqslant \text{y}$ 的正整数解。 2022-04-17 19:33:58
20305 5cac35c2210b28193dc2e938 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$，边 $AB$、$CD$ 的中垂线交于点 $F$，$M$、$N$ 分别为边 $AB$、$CD$ 的中点，直线 $EF$ 分别与边 $BC$、$AD$ 交于点 $P$、$Q$ 。若 $MF\cdot CD=NF\cdot AB$，$DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$，证明：$PQ\bot BC$ 。 2022-04-17 19:33:58
20304 5cac35cf210b28193dc2e93d 高中 解答题 自招竞赛 有 $n(n\geqslant 3)$ 名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰比赛一次（比赛无平局）。赛后发现，可以将这些选手排成一圈，使得对于任意三名选手 $A$、$B$、$C$，若 $A$、$B$ 在圈上相邻，则选手 $A$、$B$ 中至少有一人战胜了选手 $C$ 。求 $n$ 的所有可能值。 2022-04-17 19:32:58
20303 5cac35d5210b28193dc2e942 高中 解答题 自招竞赛 给定非负实数 $\alpha $ 。求最小实数 $\lambda =\lambda (\alpha )$，使得对任意复数 ${{z}_{1}}$、${{z}_{2}}$ 和实数 $x\in [0,1]$，若 $\left| {{z}_{1}} \right|\leqslant \alpha \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$，则 $\left| {{z}_{1}}-x{{z}_{2}} \right|\leqslant \lambda \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ 。 2022-04-17 19:32:58
20302 5cac35da210b28193dc2e947 高中 解答题 自招竞赛 是否存在正整数 $m$、$n$，使得 ${{m}^{20}}+{{11}^{n}}$ 为完全平方数？请证明你的结论。 2022-04-17 19:31:58
20301 5cac35df210b281942e4f505 高中 解答题 自招竞赛 从左到右编号为 ${{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}$ 的 $n$ 个盒子共装有 $n$ 个小球，每次可以选择一个盒子 ${{B}_{k}}$ 进行如下操作：若 $k=1$，且 ${{B}_{1}}$ 中至少有一个小球，则可以从 ${{B}_{1}}$ 中移1个小球至 ${{B}_{2}}$ 中；若 $k=n$，且 ${{B}_{n}}$ 中至少有一个小球，则可以从 ${{B}_{n}}$ 中移1个小球至 ${{B}_{n-1}}$ 中；若 $2\leqslant k\leqslant n-1$，且 ${{B}_{k}}$ 中至少有两个小球，则可以从 ${{B}_{k}}$ 中分别移1个小球至 ${{B}_{k-1}}$ 和 ${{B}_{k+1}}$ 中。证明：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作，使得每个盒子中恰有一个小球。 2022-04-17 19:31:58
20300 5cac35e5210b28193dc2e94d 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\odot O$ 为 $\vartriangle ABC$ 的边 $BC$ 上的旁切圆，点 $D$、$E$ 分别在线段 $AB$、$AC$ 上，使得 $DE\parallel BC$，$\odot {{O}_{1}}$ 为 $\vartriangle ADE$ 的内切圆，${{O}_{1}}B$ 与 $DO$、${{O}_{1}}C$ 与 $EO$ 分别交于点 $F$、$G$，$\odot O$ 与 $BC$ 切于点 $M$，$\odot {{O}_{1}}$ 与 $DE$ 切于点 $N$ 。证明：$MN$ 平分线段 $FG$ 。 2022-04-17 19:30:58
20299 5cac7a21210b281942e4f522 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b\in\mathbb{R}^+$，$n$ 为正整数，且 $\dfrac{\sin^4\theta}{a}+\dfrac{\cos^4\theta}{b}=\dfrac{1}{a+b}$．证明：$$\dfrac{\sin^{2n}\theta}{a^{n-1}}+\dfrac{\cos^{2n}\theta}{b^{n-1}}=\dfrac{1}{(a+b)^{n-1}}$$ 2022-04-17 19:30:58
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