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$\{ 1,2,3, \cdots ,2015\} $ 的所有1000元子集的最小元素的平均值为 ${p \over q}$，其中 $p$，$q$ 为互质的正整数。求 $p +q$ 。
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    离散型随机变量
    >
    离散型随机变量的数字特征
【答案】
431
【解析】
利用公式 $\left( \begin{matrix}
a \\
a \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}a+1 \\
a \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}a+2 \\
a \\
\end{matrix} \right)+\cdots +\left( \begin{matrix}b \\
a \\
\end{matrix} \right)\text{=}\left( \begin{matrix}b+1 \\
a+1 \\
\end{matrix}\right)$ 。设所求均值为 $M$ 。 $\begin{matrix}\left( \begin{matrix}
2015 \\
1000 \\
\end{matrix} \right)M\text{=}1\cdot \left(\begin{matrix}2014\\
999 \\
\end{matrix} \right)+2\cdot \left( \begin{matrix}2013\\
999 \\
\end{matrix} \right)+\cdots +1016\cdot \left(\begin{matrix}999 \\
999 \\
\end{matrix}\right) \\
=\left( \begin{matrix}
2014 \\
999 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}2013\\
999 \\
\end{matrix} \right)+\cdots +\left( \begin{matrix}999 \\
999 \\
\end{matrix}\right) \\
+\left( \begin{matrix}
2013 \\
999 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}2012\\
999 \\
\end{matrix} \right)+\cdots +\left( \begin{matrix}999 \\
999 \\
\end{matrix}\right) \\
\cdots \\
+\left( \begin{matrix}
999 \\
999 \\
\end{matrix}\right) \\
=\left( \begin{matrix}
2015 \\
1000 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}2014\\
1000 \\
\end{matrix} \right)+\cdots +\left( \begin{matrix}1000\\
1000 \\
\end{matrix}\right) \\
=\left( \begin{matrix}
2016 \\
1001 \\
\end{matrix}\right) \\
\end{matrix}$ 因此 $M\text{=}\frac{2016}{1001}\text{=}\frac{288}{143}$，所求值为 $431$
答案 解析 备注
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