九名参加经济会议的代表中有2人来自墨西哥，3人来自加拿大，4人来自美国。在开场环节，3名代表睡着了。假设睡着的3人是随机的，恰有两人来自同一国家的概率为 ${m \over n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
139
【解析】
从 $9$ 名官员中选出 $3$ 人共有 $\left(\begin{matrix}
9 \\
3 \\
\end{matrix}\right)\text{=}84$ 种选法。我们下面根据来自同一国家的两名睡着的代表的国籍分类讨论：若都是墨西哥代表，则另一名不同国籍的代表有 $9-2\text{=}7$ 种选择；若都是加拿大代表，则有 $\left(\begin{matrix}3 \\
2 \\
\end{matrix}\right)\cdot \left( 9-3 \right)=18$ 种选择；若都是美国代表，则有 $\left( \begin{matrix}4 \\
2 \\
\end{matrix}\right)\text{.}\left( 9-4 \right)\text{=}30$ 种选择。综上 $\frac{m}{n}\text{=}\frac{7+18+30}{84}\text{=}\frac{55}{84}$ 。故所求值为 $139$
9 \\
3 \\
\end{matrix}\right)\text{=}84$ 种选法。我们下面根据来自同一国家的两名睡着的代表的国籍分类讨论：若都是墨西哥代表，则另一名不同国籍的代表有 $9-2\text{=}7$ 种选择；若都是加拿大代表，则有 $\left(\begin{matrix}3 \\
2 \\
\end{matrix}\right)\cdot \left( 9-3 \right)=18$ 种选择；若都是美国代表，则有 $\left( \begin{matrix}4 \\
2 \\
\end{matrix}\right)\text{.}\left( 9-4 \right)\text{=}30$ 种选择。综上 $\frac{m}{n}\text{=}\frac{7+18+30}{84}\text{=}\frac{55}{84}$ 。故所求值为 $139$
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备注
