三次实系数多项式 $f(x)$ 满足 $\left| {f(1)} \right| = \left| {f(2)} \right| = \left| {f(3)}\right| = \left| {f(5)} \right| = \left| {f(6)} \right| = \left| {f(7)} \right|= 12$ 。求 $\left| {f(0)} \right|$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
072
【解析】
$f\left(x \right)\text{=}a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ 。因为其为三次函数，所以至多有两个拐点。 $f\left( 1 \right)\text{=}f\left( 5\right)\text{=}f\left( 6 \right)\text{,}f\left( 2 \right)\text{=}f\left( 3\right)\text{=}f\left( 7 \right)$ 。因为我们只需求出 $f\left( 0 \right)$，所以不妨设 $f\left(1 \right)\text{=}12\text{,}f\left( 2 \right)\text{=}-12$ 。于是可以得到下列等式：$a+b+c+d\text{=}12\text{;}8a+4b+2c+d\text{=}-12\text{;}27a+9b+3c+d\text{=}-12\text{;}125a+25b+5c+d\text{=}12\text{;}216a+36b+6c+d\text{=}12\text{;}343a+49b+7c+d\text{=}-12$ 。解得 $\left|f\left( 0 \right) \right|\text{=}072$
答案
解析
备注
