$s(n)$ 是正整数 $n$ 的各位数字之和。求最小的正整数 $n$ 使得 $s(n) = s(n + 864) = 20$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
695
【解析】
因为 $s\left(n \right)\text{=}20$，所以 $n$ 至少为三位数。设 $n\text{=}100{{a}_{2}}+10{{a}_{1}}+{{a}_{0}}$ 。因为 $s\left(n \right)\text{=}s\left( n+864 \right)$，$8+6+4\text{=}18$，所以计算 $n+864$ 时进位两次。因为所求的是 $n$ 的最小值，所以我们考虑 $n$ 为三位数的情况。则 ${{a}_{2}}+{{a}_{1}}+{{a}_{0}}\text{=}20$，且易知 ${{a}_{2}}\ge2$，则百位相加时必然进位，故个位十位恰有一个没有进位。若十位没有进位，则 ${{a}_{1}}\leqslant 9-1-6\text{=}2$，此时满足条件的只有 $929$；若个位没有进位，则 ${{a}_{0}}\le9-4\text{=}5$，${{a}_{1}}+{{a}_{2}}\geqslant 20-5\text{=}15$ 。欲使 ${{a}_{2}}$ 尽可能小，而 ${{a}_{2}}\ge15-9\text{=}6$ 。令 ${{a}_{2}}\text{=}6$，则 ${{a}_{1}}\text{=}9\text{,}{{a}_{0}}\text{=}5$，经验证满足条件。故最小的 $n$ 为 $695$ 。
答案
解析
备注
