$S$ 是满足 $1\leqslant {a_1},{a_2},{a_3} \leqslant 10$ 三元有序整数组 $\left({{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$ 的集合。 $S$ 中的每个元素可按照 ${a_n} = {a_{n - 1}} \cdot \left| {{a_{n - 2}} - {a_{n - 3}}}\right|$ $(n \geqslant 4)$ 生成一个数列。求满足存在 ${a_n} = 0$ 项的数列的个数。
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
494
【解析】
设 ${{a}_{1}}\text{=}x\text{,}{{a}_{2}}\text{=}y\text{,}{{a}_{3}}\text{=}z$ 。注意到（1）若存在相邻两项相等，$\left| {{a}_{n-2}}-{{a}_{n-3}}\right|\text{=}0$，则 ${{a}_{n}}\text{=}0$（2）若相邻两项差 $1$，$\left|{{a}_{n-2}}-{{a}_{n-3}} \right|\text{=1}$，则 ${{a}_{n}}\text{=}{{a}_{n-1}}$，则根据情况（1），${{a}_{n+2}}\text{=}0$ 。易知若存在某项为 $0$，则其后所有项均为 $0$ 。若前三项中存在连续两项相等或差值为 $1$，则必然数列存在 $0$ 项。这一共有 ${{10}^{3}}-\left(2\cdot {{8}^{2}}+8\cdot {{7}^{2}} \right)\text{=}480$ 个。若 $\left| y-x\right|\text{,}\left| z-y \right|\geqslant 2$，${{a}_{n}}\text{=}{{a}_{n-1}}\cdot\left| {{a}_{n-2}}-{{a}_{n-3}} \right|\to{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}={{a}_{n-1}}\left( \left| {{a}_{n-2}}-{{a}_{n-3}}\right|-1 \right)$，所以 $z\text{=}1\text{,}\left| y-x \right|\text{=}2$ 时存在 $0$ 项，则此类情况有 $14$ 种。故一共有 $480+14\text{=}494$ 各满足条件的三元数组。
答案
解析
备注
