证明：在 $n\geqslant m\geqslant h$ 时，$\displaystyle \sum\limits_{k=h}^{n+h-m}{C_{n-k}^{m-h}C_{k}^{h}=C_{n+1}^{m+1}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑从 $\text{}\!\!\{\!\!\text{ }1,2,\cdots ,n+1\}$ 中选出 $m+1$ 个数组成的递增数列
${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots<{{a}_{m+1}}$ ①
显然这种数列的个数为 $C_{n+1}^{m+1}$ 。
另一方面，设 ${{A}_{k}}$ 为 ① 中满足 ${{a}_{h+1}}=k+1$ 的那些数列所成的集合 $(k=h,h+1,\cdots ,n+h-m)$，则这种数列的前 $h$ 项是从 $\{1,2,\cdots ,k\}$ 中选出的，后 $m-h$ 项是从 $\{k+2,k+3,\cdots ,n+1\}$ 中选出的，所以 $|{{A}_{k}}|=C_{k}^{h}C_{n-k}^{m-h}$ 。综合两方面可知，等式成立。
${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots<{{a}_{m+1}}$ ①
显然这种数列的个数为 $C_{n+1}^{m+1}$ 。
另一方面，设 ${{A}_{k}}$ 为 ① 中满足 ${{a}_{h+1}}=k+1$ 的那些数列所成的集合 $(k=h,h+1,\cdots ,n+h-m)$，则这种数列的前 $h$ 项是从 $\{1,2,\cdots ,k\}$ 中选出的，后 $m-h$ 项是从 $\{k+2,k+3,\cdots ,n+1\}$ 中选出的，所以 $|{{A}_{k}}|=C_{k}^{h}C_{n-k}^{m-h}$ 。综合两方面可知，等式成立。
答案
解析
备注
