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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20458 5c987bbe210b280b2397e896 高中 解答题 自招竞赛 青蛙Freddy在直角坐标平面内寻找位置对应直线 $y\text{=}24$ 的河流。一围栏位于 $y\text{=}0$ 。每跳一步，Freddy都可以选择沿平行于坐标轴的方向前进一个单位长度。当他位于 $x$ 轴时，他等可能的从三个方向中选择一个前进，即沿围栏向左，沿围栏向右，或者沿垂直远离围栏的方向，而他不能跨越围栏跳至坐标满足 $y\text{}0$ 的位置。Freddy从点 $\left( 0\text{,}21 \right)$ 出发搜索直至到达河流上一点。求Freddy到达河流所跳步数的期望值 2022-04-17 19:59:59
20457 5c987bc4210b280b2397e89c 高中 解答题 自招竞赛 在坐标网格中，以每个格点为中心各有一个半径 $\frac{1}{10}$ 的圆和一个边长 $\frac{1}{5}$ 的正方形（各边平行于坐标轴）。端点为 $\left( 0\text{,}0 \right)\text{,}\left( 1001\text{,}429 \right)$ 的线段穿过了 $m$ 个正方形和 $n$ 个圆。求 $m+n$ 2022-04-17 19:58:59
20456 5c987bc8210b280b2256bf5e 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{\omega }_{1}}\text{,}{{\omega }_{2}}$ 相交于点 $X,Y$ 。直线 $l$ 与圆 ${{\omega }_{1}}\text{,}{{\omega }_{2}}$ 分别相切于点 $A,B$，且该直线与 $X$ 的距离小于与 $Y$ 的距离。圆 $\omega $ 经过点 $A,B$ 且分别与圆 ${{\omega }_{1}}\text{,}{{\omega }_{2}}$ 交于另两点 $D,C$ 。 $C,Y,D$ 三点共线且 $XC=67,XY=47,XD=37$ 。求 $A{{B}^{2}}$ 2022-04-17 19:58:59
20455 5c999682210b280b2256bf8a 高中 解答题 自招竞赛 $15$ 个不同的点在 $\Delta ABC$ 的边上：其中 $3$ 个为三角形的顶点 $A,B,C$，$3$ 个点在 $AB$ 上，$4$ 个在 $BC$ 上，$5$ 个在 $CA$ 上。求所有面积为正数的三角形的个数，其顶点在这 $15$ 个点中 2022-04-17 19:57:59
20454 5c99968b210b280b2256bf90 高中 解答题 自招竞赛 当 $702$，$787$ 和 $855$ 被正整数 $m$ 除时，余数均为正整数 $r$ 。当 $412$，$722$ 和 $815$ 被正整数 $n$ 除时，余数均为 $s\left( s\ne r \right)$ 。求 $m+n+r+s$ 2022-04-17 19:57:59
20453 5c999690210b280b2256bf95 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$，令 ${{d}_{n}}$ 为 $1+2+\cdots +n$ 的个位数。求 $\displaystyle \sum\limits_{n\text{=}1}^{2017}{{{d}_{n}}}$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:56:59
20452 5c999695210b280b2397e8e5 高中 解答题 自招竞赛 三棱锥底面三角形三边长为 $20$，$20$ 和 $24$ 。与顶点相邻的三条棱的长度均为 $25$ 。该三棱锥的面积为 $m\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 均为正整数，$n$ 不含平方因子。求 $m+n$ 2022-04-17 19:55:59
20451 5c99969e210b280b2256bf9b 高中 解答题 自招竞赛 一有理数 $8$ 进制下具有形式 $\underline{ab}\text{.}\underline{cd}$，其中每个数字都非零。该有理数在 $12$ 进制下具有形式 $\underline{bb}\text{.}\underline{ba}$ 。求十进制下的数 $\underline{abc}$ 2022-04-17 19:54:59
20450 5c9996a4210b280b2397e8eb 高中 解答题 自招竞赛 一圆有一腰长为 $x$ 的内接等腰三角形。从圆周上独立均匀地随机取两点并连接两点做圆的一根弦。该弦与三角形相交的概率为 $\frac{14}{25}$ 。求 $x$ 最大值与最小值的差 2022-04-17 19:54:59
20449 5c9996ab210b280b2397e8f0 高中 解答题 自招竞赛 非负整数 $a\text{,}b$ 有 $a\text{,}b\leqslant 6$，令 $T\left( a\text{,}b \right)\text{=}\left( \begin{matrix}
6 \\
a \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
b \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\
a+b \\
\end{matrix}\right)$ 。对所有满足条件的 $a\text{,}b$，记 $S$ 为其对应的 $T\left( a\text{,}b \right)$ 的和。求 $S$ 模 $1000$ 的值		 2022-04-17 19:53:59
20448 5c9996b6210b280b2397e8f6 高中 解答题 自招竞赛 从区间 $\left( 0\text{,}75 \right)$ 独立均匀地随机取两个实数 $a\text{,}b$ 。平面上两点 $O,P$ 满足 $OP\text{=}200$ 。 $Q,R$ 在直线 $OP$ 同侧，使得 $\angle POQ\text{,}\angle POR$ 的角度分别为 $a,b$ 且 $\angle OQP,\angle ORP$ 均为直角。 $QR\leqslant 100$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 19:53:59
20447 5c9c4035210b280b2397eaa5 高中 解答题 高中习题 两个航空公司为 $10$ 个城市通航，使得任何两个城市之间恰有一个公司开设直达航班进行往返服务，试证至少有一个公司能提供两个不想交的旅游圈，每个圈可游览奇数个城市． 2022-04-17 19:52:59
20446 5c9996bb210b280b2256bfa9 高中 解答题 自招竞赛 ${{a}_{10}}\text{=}10$，${{a}_{n}}\text{=}100{{a}_{n-1}}+n\left( n\text{}10 \right)$ 。求最小的 $n\left( n\text{10} \right)$ 使得 ${{a}_{n}}$ 是 $99$ 的倍数 2022-04-17 19:51:59
20445 5c9996c0210b280b2256bfae 高中 解答题 自招竞赛 ${{z}_{1}}\text{=}18+83i\text{,}{{z}_{2}}\text{=}18+39i\text{,}{{z}_{3}}\text{=}78+99i\text{,}i\text{=}\sqrt{-1}$ 。对使得 $\frac{{{z}_{3}}-{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{1}}}\text{.}\frac{z-{{z}_{2}}}{z-{{z}_{3}}}$ 为实数的复数 $z$，找出其中虚部的最大的一个，求其实部的值 2022-04-17 19:51:59
20444 5c9996c7210b280b2397e8fc 高中 解答题 自招竞赛 将 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}9$ 排成 $3\times 3$ 的形式。对每个排列方式，${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}}$ 分别为 $1\text{,}2\text{,}3$ 行的中位数，$m$ 为 $\left\{ {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}} \right\}$ 的中位数。 $Q$ 为满足 $m\text{=}5$ 的排列的个数。求 $Q$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:50:59
20443 5c9996cd210b280b2256bfb5 高中 解答题 自招竞赛 称集合 $S$ 是“非乘积的”，如果不存在 $a\text{,}b\text{,}c\in S$（$a\text{,}b\text{,}c$ 可以相同）使得 $ab\text{=}c$ 。例如，空集和 $\left\{ 16\text{,}20 \right\}$ 都是“非乘积的”，$\left\{ 4\text{,}16 \right\}\text{,}\left\{ 2\text{,}8\text{,}16 \right\}$ 不是“非乘积的”。求集合 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,}8\text{,}9\text{,}10 \right\}$“非乘积的”子集的个数。 2022-04-17 19:50:59
20442 5c9996d4210b280b2397e901 高中 解答题 自招竞赛 $m\geqslant 2,Q\left( m \right)$ 是具有下述条件的最小的正整数：对 $n\geqslant Q\left( m \right)$，存在完全立方数 ${{k}^{3}}$ 满足 $n<{{k}^{3}}<m\cdot n$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{m\text{=}2}^{2017}{Q\left( m \right)}$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 19:50:59
20441 5c9996df210b280b2397e908 高中 解答题 自招竞赛 直角三角形边长为 $2\sqrt{3}\text{,}5\sqrt{37}$，顶点分别在三条边上的内接正三角形（如下图所示）的面积最大值为 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n\text{,}p$ 均为正整数，$m\text{,}n$ 互质，$p$ 不含平方因子。求 $m+n+p$ 2022-04-17 19:49:59
20440 5c9c4584210b280b2397ead1 高中 解答题 高中习题 将凸多面体的每一条棱染成红色或黄色，两边异色的面角称为奇异面角，某顶点 $A$ 处的奇异面角数称为给顶点的奇异度，并记为 $S_A$，证明存在两个顶点 $B,C$，使得 $S_B+S_C\leqslant 4$ 2022-04-17 19:49:59
20439 5c99ef2b210b280b2397e950 高中 解答题 自招竞赛 求 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,}8 \right\}$ 满足下述条件的子集的个数：其既不是 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5 \right\}$ 子集，也不是 $\left\{ 4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,}8 \right\}$ 的子集 2022-04-17 19:48:59
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