设 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{n}}\left( n\geqslant 2 \right)$ 是 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的任意一个排列。求证：$\frac{1}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}+\frac{1}{{{P}_{2}}+{{P}_{3}}}+\cdots +\frac{1}{{{P}_{n-2}}+{{P}_{n-1}}}+\frac{1}{{{P}_{n-1}}+{{P}_{n}}}\text{}\frac{n-1}{n+2}$
【难度】
【出处】
2002第1届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据柯西不等式，有 $\left( \frac{1}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}+\cdots+\frac{1}{{{P}_{n-1}}+{{P}_{n}}} \right)\left[ \left( {{P}_{1}}+{{P}_{2}}\right)+\cdots +\left( {{P}_{n-1}}+{{P}_{n}} \right) \right]\geqslant {{\left( n-1\right)}^{2}}$，则 $\frac{1}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}+\cdots+\frac{1}{{{P}_{n-1}}+{{P}_{n}}}\geqslant \frac{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{2\left({{P}_{1}}+\cdots +{{P}_{n}} \right)-{{P}_{1}}-{{P}_{n}}}\geqslant \frac{{{\left( n-1\right)}^{2}}}{n\left( n+1 \right)-3}\text{=}\frac{{{\left( n-1\right)}^{2}}}{\left( n-1 \right)\left( n+2 \right)-1}\text{}\frac{n-1}{n+2}$
答案
解析
备注
