点 $B$ 在线段 $\overline{AC} $ 上，满足 $AB = 16$ 且 $BC = 4$ 。点 $D$ 和点 $E$ 在直线 $AC$ 同侧且三角形 $ABD$ 和三角形 $BCE$ 是等边三角形。 $M$ 是线段 $\overline {AE} $ 的中点，$N$ 是线段 $\overline {CD} $ 的中点。三角形 $BMN$ 的面积为 $x$ 。求 ${x^2}$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
507
【解析】
令 $A,B,C$ 坐标分别为 $\left(0,0 \right),\left( 16,0 \right),\left( 20,0 \right)$ 。由对称性可设 $D,E$ 在第一象限，则 $D$ 坐标为 $\left(8,8\sqrt{3} \right)$，$E$ 坐标为 $\left( 18,2\sqrt{3} \right)$ 。由于 $M,N$ 为中点，$M,N$ 坐标分别为 $\left(9,\sqrt{3} \right),\left( 14,4\sqrt{3} \right)$ 。 $BM=BN=MN=2\sqrt{13}$ 。因此 $x\text{=}13\sqrt{3}$，${{x}^{2}}\text{=}507$
答案
解析
备注
