求出所有的正整数 $n$，使得 $20n+2$ 能整除 $2003n+2002$
【难度】
【出处】
2002第1届CGMO试题
【标注】
【答案】
满足题设要求的 $n$ 不存在
【解析】
解法 $1$：显然，$\left. 2 \right|n$ 。令 $n\text{=}2m\left( m\in {{\mathbb{N}}_{+}} \right)$，则 $\left.\left( 20m+1 \right) \right|\left( 2003m+1001 \right)$ 。因为 $2003m+1001\text{=}100\left(20m+1 \right)+3m+901$，故 $\left. \left( 20m+1 \right) \right|3m+901$ 。易知 $\frac{3m+901}{20m+1}\text{=}1\text{,}2\text{,}3\text{,}4$ 时均无正整数解。因此 $\frac{3m+901}{20m+1}\ge5$，从而 $m\leqslant \frac{896}{97}\text{10}$ 。但对 $m\text{=1,2,}\cdots \text{,9}$，逐一检验知 $20m+1\nmid3m+901$ 。所以满足题设要求的 $n$ 不存在。
解法2：显然，$\left.2 \right|n$ 。令 $n\text{=}2m\left( m\in {{\mathbb{N}}_{+}} \right)$，则 $\left.\left( 20m+1 \right) \right|\left( 2003m+1001 \right)$ 。由 $\left( 20m+1\text{,}20 \right)\text{=}1$ 和 $\left( 2003m+1001 \right)\times 20-\left( 20m+1\right)\times 2003\text{=18017}$，可知 $\left. \left( 20m+1 \right) \right|18017$ 。注意到 $18017\text{=}43\times 419$，且 $43\text{,}419$ 为素数，故 $20m+1\text{=}43\text{,}419\text{,}18017$，经验证知无正整数解，所以满足题设要求的 $n$ 不存在
解法2：显然，$\left.2 \right|n$ 。令 $n\text{=}2m\left( m\in {{\mathbb{N}}_{+}} \right)$，则 $\left.\left( 20m+1 \right) \right|\left( 2003m+1001 \right)$ 。由 $\left( 20m+1\text{,}20 \right)\text{=}1$ 和 $\left( 2003m+1001 \right)\times 20-\left( 20m+1\right)\times 2003\text{=18017}$，可知 $\left. \left( 20m+1 \right) \right|18017$ 。注意到 $18017\text{=}43\times 419$，且 $43\text{,}419$ 为素数，故 $20m+1\text{=}43\text{,}419\text{,}18017$，经验证知无正整数解，所以满足题设要求的 $n$ 不存在
答案
解析
备注
