质数 $p$ 满足 $16p+ 1$ 是完全立方数。求 $p$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
307
【解析】
设 ${{a}^{3}}\text{=}16p+1\text{,}a\in{{\mathbb{N}}^{+}}$，显然 $a$ 为奇数。由 $\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1\right)\text{=}16p$，${{a}^{2}}+a+1$ 为奇数，故 $\left. 16 \right|a-1$ 。又由于 $p$ 为质数，所以 $a-1\text{=}16$ 。所以 $p\text{=}{{a}^{2}}+a+1\text{=}307$
答案
解析
备注
