求所有的正整数数对 $\left( x\text{,}y \right) $，满足 ${{x}^{y}}\text{=}{{y}^{x-y}}$
【难度】
【出处】
2002第1届CGMO试题
【标注】
【答案】
$\left(1\text{,}1 \right),\left( 9\text{,}3 \right)\text{,}\left( 8\text{,}2 \right)$
【解析】
若 $x\text{=}1$，则 $y\text{=}1$；若 $y\text{=}1$，则 $x\text{=}1$；若 $x\text{=}y$，则 $x\text{=}y\text{=}1$ 。故只需讨论 $x\text{}y\ge2$ 的情形。由方程得 $1\text{}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{y}}\text{=}{{y}^{x-2y}}$ 。故 $x\text{}2y\text{,}\left.y \right|x$ 。设 $x\text{=}ky$，则 $k\geqslant 3\text{,}k\in \mathbb{N}$ 。于是，${{k}^{y}}\text{=}{{y}^{\left(k-2 \right)y}}$，有 $k\text{=}{{y}^{k-2}}$ 。因 $y\geqslant 2$，故 ${{y}^{k-2}}\geqslant {{2}^{k-2}}$ 。用数学归纳法易证 ${{2}^{k}}\text{}4k\left(k\geqslant 5 \right)$ 。于是仅可能 $k\text{=}3\text{,}4$ 。当 $k\text{=}3$ 时，$y\text{=}3\text{,}x\text{=}9$；当 $k\text{=}4$ 时，$y\text{=}2\text{,}x\text{=}8$ 。所以全部解 $\left( x\text{,}y \right)$ 为 $\left(1\text{,}1 \right),\left( 9\text{,}3 \right)\text{,}\left( 8\text{,}2 \right)$ 。
答案
解析
备注
