对每个整数 $n \geqslant 2$，$A(n)$ 为坐标平面内 $1 \leqslant x \leqslant n$ 和 $0 \leqslant y \leqslant x\left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor $ 围成的区域的面积，其中 $\left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor $ 是不超过 ${\sqrt x }$ 的最大整数。求使得 $A(n)$ 是整数的 $n$ 的个数，其中 $2 \leqslant n \leqslant 1000$
【难度】
【出处】
2015年第33届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
483
【解析】
根据函数图像可知其由一系列梯形构成，每个梯形由 $y\text{=}0\text{,}x\text{=}{{a}^{3}}\text{,}x\text{=}{{\left(a+1 \right)}^{2}}\text{,}y\text{=}ax$ 围成，$a\text{=}1\text{,}2\text{,}3\cdots\left[ \sqrt{n} \right]$ 。每个小梯形面积为 $\left( {{\left( a+1 \right)}^{2}}-{{a}^{2}}\right)\frac{{{a}^{3}}+a{{\left( a+1 \right)}^{2}}}{2}$，$a$ 为偶数时面积为整数，$a$ 为奇数时面积为整数 $\frac{1}{2}$ 。欲使 $A\left(n \right)$ 为整数，$\left[ \sqrt{n} \right]\equiv 0\left( \bmod 4 \right)$ 时满足条件，$\left[\sqrt{n} \right]$ 为奇数的有一半满足条件。所以一共有 $\left[ \left( {{5}^{2}}-{{4}^{2}}\right)+\left( {{9}^{2}}-{{8}^{2}} \right)+\cdots +\left( {{29}^{2}}-{{28}^{2}}\right) \right]+\frac{\left( {{2}^{2}}-{{1}^{2}} \right)+\left({{4}^{2}}-{{3}^{2}} \right)+\cdots +\left( {{30}^{2}}-{{29}^{2}} \right)+\left(1000-{{31}^{2}} \right)}{2}\text{=}231+252\text{=}483$
答案
解析
备注
